6.13. Теория течений со свободными линиями тока, установившиеся струи и каверны

Ниже мы изучим ряд задач, в которых установившееся течение при больших числах Рейнольдса ограничено частично твердыми стенками и частично свободными линиями тока неизвестной формы, на которых давление постоянно и имеет заданную величину. Такие течения большей частью можно разделить на «незатопленные» струи, т. е. струи жидкости конечных поперечных размеров (по нормали к направлению основного течения), окруженные газом, и на газовые каверны конечных поперечных размеров, окруженные жидкостью; к струйным задачам относятся также задачи о движении тел вдоль свободной поверхности жидкости, которая первоначально находилась в состоянии покоя под действием силы тяжести. Мы будем предполагать, что вверх по потоку заданы такие условия, что течение всюду безвихревое, за исключением пограничных областей, с обычными оговорками относительно применимости полученных результатов.

В некоторых из этих задач общие свойства полей течений можно установить путем наблюдения, дополненного применением интегральной теоремы о количестве движения, как в § 6.3, однако в других задачах, особенно в задачах с кавернами, характер течения может быть вообще не очевиден и, во всяком случае, для получения количественных сведений требуются подробные расчеты. Тот факт, что форма свободных границ неизвестна, делает математическую задачу весьма трудной, исключая двумерные течения, в которых твердые границы состоят из прямолинейных отрезков. Использование больших электронно-вычислительных машин дает возможность получить много численных решений, во всяком случае для задач двумерных и осесимметричных течений.

Как уже упоминалось в § 5.11, интерес к течениям этого типа стимулировался ранее представлением о свободных линиях тока в модели широкого следа за плохообтекаемым телом, погруженным в равномерный поток (без каверн) при больших числах Рейнольдса. Действительно, скорость в следе вблизи плохообтекаемого тела вообще меньше, чем в невозмущенном потоке, хотя предположение о том, что давление в следе постоянно, представляет собой слишком сильное упрощение, и, во всяком случае, неустойчивость вихревой пелены, составляющей границу следа, приводит к вихревому

движению и смешению жидкости на обеих сторонах этой границы уже на малых расстояниях от тела. Приложение теории свободной линии тока к случаям, в которых поверхность тока имеет на одной стороне жидкость, а на другой стороне газ, не вызывает таких возражений, так как любое движение, которое развивается в газе, оказывает пренебрежимо малое влияние на течение жидкости, и поверхность раздела жидкости и газа обычно бывает динамически устойчивой.

Будем считать, что статическое давление в области, представляющей практический интерес, приближенно однородно и, согласно теореме Бернулли, скорость жидкости на свободной линии тока по величине постоянна; очевидно, что это предположение будет правильным в том случае, когда

где масштаб протяженности рассматриваемой области в вертикальном направлении, характерная скорость жидкости в этой области.

Опишем предложенный Кирхгофом (1869) метод решения, который применим к двумерным течениям с кусочно-прямолинейными границами и в котором используется комплексный потенциал скорости (§ 2.7, 6.5). С этой теорией свободных линий тока связано также имя Гельмгольца (1868), так как он первым решил задачу со свободными линиями тока. Основная идея метода состоит во введении новой комплексной переменной

где, как и раньше, соответственно модуль и аргумент (относительно оси ) вектора скорости Эта переменная обладает простыми свойствами, заключающимися в том, что ее действительная часть постоянна на каждой свободной линии тока, а ее мнимая часть постоянна на каждом прямолинейном участке твердой границы. Поэтому вся граница жидкости в плоскости изображается в виде фигуры с прямолинейными сторонами. Кроме того, в плоскости граница жидкости изображается в виде простой фигуры с прямолинейными параллельными сторонами, а именно двумя прямыми линиями, параллельными действительной оси, которые соответствуют двум граничным линиям тока. Далее, из теоремы Кристоффеля — Шварца (§ 6.5) следует, что всегда можно найти конформное отображение внутренней или внешней части многоугольника на полуплоскость. Следовательно, можно найти соотношения между переменной и новой комплексной переменной а также между

так что в обоих случаях область течения отобразится на верхнюю полуплоскость . Таким способом можно получить соотношение между из которого путем интегрирования находится зависимость от

Метод будет объяснен в применении к задаче, связанной со струей, и к задаче, связанной с каверной.