6.5. Использование комплексного потенциала в случае двумерного безвихревого течения
В § 2.7 отмечалось, что потенциал скорости 
и функция тока 
в двумерном безвихревом течении несжимаемой жидкости обладают некоторыми замечательными свойствами сопряженности. Эти свойства сводятся к утверждению, что комплексный потенциал 
представляет собой аналитическую функцию от 
в области плоскости переменной 
занятой потоком жидкости, что 
имеет единственную производную по 
в каждой точке этой области. И, наоборот, любая аналитическая функция от z может рассматриваться как комплексный потенциал некоторого поля течения. Таким образом, путем простого выбора различных функций 
мы получаем возможные виды функций 
хотя вполне может случиться так, что не все поля течений, которым соответствуют эти функции, интересны с физической точки зрения.
Более прямой путь определения безвихревого поля течения связан с методом конформного отображения функций комплексного переменного. В данном параграфе мы поясним эти прямые и непрямые методы, а также другие применения комплексного потенциала.
Предварительно полезно отметить вид комплексного потенциала 
для нескольких простых безвихревых течений с уже известными функциями 
Равномерное течение со скоростью 
Простой источник интенсивности 
в точке 
(§ 2.5):
Диполь источников в точке 
интенсивности 
с осью, параллельной оси х,
Такой же диполь с осью, параллельной оси у,
Точечный вихрь в точке 
интенсивности и (§ 2.6):
Вихревой диполь в точке 
интенсивности А, с осью, параллельной оси х,
Течение, вызванное круговым цилиндром радиуса а, движущимся со скоростью 
и циркуляцией и вокруг него, центр которого в данный момент времени находится в точке 
(§ 2.10):
Произвольное течение вне круга с центром в точке 
который охватывает все границы в жидкости, покоящейся на бесконечности (ряд Лорана, § 2.10):
Течение вблизи критической точки, расположенной в начале координат (§ 2.7):
Поля течений, получаемые при специальном выборе функции w(z)
Простейшей математической формой комплексного потенциала 
можно считать функцию
в которой 
действительные постоянные. Если 
полярные координаты в плоскости 
то 
и
Любое математическое решение для безвихревого течения представляет физический интерес в зависимости от того, удовлетворяет ли оно граничным условиям, которые могут встречаться на практике. Самое распространенное граничное условие состоит в том, что объемный поток через каждый элемент заданной поверхности равен нулю; оно возникает по той причине, что либо существует определенная симметрия при переходе через поверхность (когда, например, две одинаковые струи воды сталкиваются в плоскости симметрии), либо же заданная поверхность служит границей твердого тела (в этом случае еще нужно проверять, является ли
и при 
величина 
стремится к нулю, к 
или к бесконечности в зависимости от того, каково 
больше, равно или меньше единицы. При 
прямые границы образуют угол, меньший 
при 
получается течение в области, ограниченной прямым углом, с линиями тока в виде равносторонних гипербол, которое, как уже было установлено (в § 2.7), представляет собой половину области безвихревого течения вблизи критической точки на плоской границе. Случай 
соответствует однородному потоку, параллельному одной прямолинейной границе. Значения 
между 1 и 1/2 дают течения около выступающего угла с особенностью распределения скорости в его вершине.
Крайний случай 
представляет особый интерес, так как он соответствует течению около кромки тонкой пластины. Необычное свойство безвихревого течения в этом случае заключается в том, что весьма низкое давление вблизи острой кромки пластины вызывает ненулевую полную силу на границе. Это можно выяснить путем расчета силы на границе, совпадающей с линией тока 
(которая представляет собой параболу), и последующего перехода к пределу при 
). Полная сила, развиваемая жидкостью на конечной части этой границы, лежащей, например, внутри окружности радиуса 
в силу симметрии параллельна оси 
и ее проекция на эту ось есть
где интеграл берется по части кривой, определяемой уравнением
которая расположена между 
здесь 
Заменяя давление 
на 
(см. (6.2.5) в пренебрежении силой тяжести), имеем
отсюда при 
имеем
Предельное значение 
не зависит от радиуса окружности 
и представляет собой подсасывающую силу, сконцентрированную на острой кромке и направленную параллельно пластине. Эта ненулевая сила на острой кромке не имеет прямого практического значения, так как реальная жидкость в установившемся движении будет отрываться от кромки, и очень низкие давления вблизи
кромки не возникают; однако ясное понимание свойств безвихревого течения при наличии пластин с острой кромкой можно использовать косвенно в связи с возможностью преобразования поля течения, имеющего границу с острой кромкой, в поле течения с границей другой формы.
Все свойства этих частных случаев безвихревого течения в области между двумя прямолинейными пересекающимися границами имеют более общее значение в связи с тем, что они справедливы в окрестности точек пересечения двух прямолинейных границ конечной длины, независимо от формы остальной части течения. Доказательство этого будет приведено в этом параграфе позже. Таким образом, в любом безвихревом течении скорость в точке границы с нулевым потоком в том месте, где имеется разрыв в направлении касательной к границе, равна нулю в том случае, когда угол, занимаемый жидкостью, меньше 
, и равна бесконечности, когда этот угол больше 
. В первом случае, когда угол меньше 
, поверхностная линия тока в реальной жидкости вследствие замедления потока будет отрываться (во всяком случае, в установившемся течении) от твердой границы еще до точки разрыва, создавая внутри угла стационарное вихревое течение; в случае угла, большего 
, поверхностная линия тока оторвется в вершине угла, если изменение в направлении касательной не слишком мало.
Когда 
угол между двумя прямолинейными пересекающимися линиями тока, на которых 
больше 
и уже теперь нельзя считать, что обе эти линии тока представляют собой непроницаемые границы в поле течения; когда же 
как потенциал скорости 
так и функция тока 
становятся бесконечными при 
Для указанных значений 
возможность нахождения интересных полей течения путем выделения определенных линий тока в качестве границ меньше.
При подобном косвенном исследовании полей течения можно применить также тригонометрические функции. Предположим, например, что выбрано выражение комплексного потенциала
где 
действительные постоянные; соответствующие выражения для 
и имеют вид
и определяют поле течения, периодическое в направлении оси х. Неограниченное возрастание скорости при 
препятствует практическому использованию этого выражения 
Однако можно получить поле течения, в котором скорость в одном направлении стремится к нулю; для этого надо сложить два аналогичных выражения; так, при
имеем
Как известно, эти выражения применяются в теории поверхностных волн, чтобы описать мгновенное движение полубесконечной жидкости со свободной поверхностью, которая в равновесном состоянии занимает положение 
и по которой в результате действия сил тяжести или сил поверхностного натяжения (или их обеих вместе) распространяется синусоидальная волна малой амплитуды с длиной волны 
Это условие непротекания удовлетворяется на каждой линии тока течения, поэтому можно рассматривать любую линию из семейства линий тока, определяемого выражением (6.5.2), как неподвижную границу с нулевым потоком через нее. На практике часто встречаются границы простой геометрической формы, а из них наиболее распространены плоские границы. Поэтому среди семейств линий тока нам нужно обращать особое внимание на любые прямые.
в (6.5.2) при 
постоянна и равна нулю для всех 
Поэтому выражения (6.5.1) и (6.5.2) соответствуют безвихревому течению в области между двумя прямыми границами, пересекающимися под углом 
При различных показателях 
получаются частные случаи, причем некоторые из них имеют интересные свойства (рис. 6.5.1). Заметное изменение в характере течения вблизи точки пересечения границ наблюдается при переходе 
через единицу, поскольку
