Схлопывание нестационарной каверны

Если давление в окрестности каверны поднимается выше давления парообразования, то каверна коллапсирует (схлопывается). Стенки каверны устремляются друг к другу обычно при наличии в ней лишь малого количества газа (поступившего большей частью в течение времени существования каверны при испарении границы каверны и диффузии растворенного газа через нее), который играет роль слабой газовой подушки, и звук удара получается сильный, почти металлический, вследствие малого коэффициента сжимаемости воды. В воде вблизи каверны в момент удара развивается очень большое давление, и оно затем распространяется по всей воде как волна сжатия. С практической точки зрения этот импульс давления большой интенсивности, распространяющийся от каждой разрушающей каверны, является важной и, как правило, нежелательной чертой кавитации. Он слышен как неприятный громкий шум в системах подвода воды и в гидравлических насосах. Когда этот шум возникает в результате кавитации вблизи винта корабля, он может вызвать интенсивные вибрации винта и прослушивается за много миль от места своего образования подводными акустическими приборами. Непрерывное схлопывание каверн быстро приводит (это более важно) к износу и эрозии соседних с ними твердых поверхностей. Механизм этого процесса повреждения металлических лопастей винтов и турбин, а также бетонных водосбросов плотин выяснен еще не полностью, но, по-видимому, основную роль играют локальные усталостные разрушения

твердых материалов, обусловленные действием постоянно повторяющихся высоких напряжений.

Представляют интерес оценки величин максимума развиваемого давления и других характеристик схлопывающейся каверны. Их очень просто получить в описанном выше одномерном случае каверны, образующейся при выдвижении поршня из трубы. Предположим, например, что через некоторое время после того, как поршень перестает двигаться с ускорением, возвращающийся столб воды ударяет поршень с относительной скоростью (В случае мгновенного закрытия крана из энергетических соображений следует, что вода возвращается к крану с той же самой скоростью, какую она имела сразу до образования каверны, если масса столба воды остается неизменной.) Если бы вода была действительно несжимаемой, то относительная скорость всего столба воды уменьшилась бы мгновенно до нуля и импульсивное давление воды было бы бесконечным; однако благодаря действительной сжимаемости воды импульсы давления распространяются через воду с конечной скоростью с (скорость распространения звуковых волн, если амплитуда импульса не слишком велика) и до нуля падает скорость только той части столба, которая может быть достигнута волной давления, создаваемой поршнем в момент удара. Таким образом, скорость изменения количества движения столба воды на единицу площади поперечного сечения равна и она должна быть равна приращению давления в воде вблизи поршня. Скорость звуковых волн в воде равна так что для воды, текущей вдоль водопроводной трубы со скоростью гидравлический удар, возникающий при внезапном закрытии крана сначала перед краном, а потом за ним вследствие схлопывания образовавшейся каверны (если кран расположен на некотором расстоянии от выхода и потерь энергии нет), равен приблизительно или 14 атм.

В случае каверны, ограниченной во всех трех измерениях, движение схлопывания, очевидно, сильно зависит от формы границы каверны. Фотографии каверн, образованных в области низкого давления в установившемся течении около тела, как, например, на фото 6.12.1, показывают, что каверны при максимальном размере имеют приближенно сферическую форму. Наблюдения схлопывания одиночной каверны в контролируемых условиях, вроде приведенных на фото 6.12.3, подтверждают, что каверна, сферическая в начальный момент времени, остается приближенно такой же почти до полного схлопывания. Поэтому для простоты анализа мы предположим сферическую симметрию каверны при схлопывании.

Дифференциальное уравнение, определяющее радиус сферической каверны для данных давлений «на бесконечности» и в каверне, уже было получено (см. (6.11.16)). В данном случае представляет собой внешнее давление для каверны, равное

Рис. 6.12.4. Охлопывание сферической каверны из состояния покоя под действием постоянного перепада давлений. По оси ординат величина радиуса для каверны на фото 6.12.3, определенная путем экстраполяции, равна 0,72 см, а начальный момент времени был установлен по продолжительности схлопывания.

давлению в жидкости при ее отсутствии; давление может быть приравнено давлению пара всегда, если только не слишком мало, что может быть либо в начале образования каверны (когда может иметь значение поверхностное натяжение), либо к концу полного схлопывания (когда, кроме того, заключенный в каверне пар, возможно, сжимается слишком быстро, чтобы могла происходить конденсация). Упомянутое уравнение для при можно проинтегрировать численно, если давление известно как функция времени в условиях заданного поля течения воды. Было получено соответствие между радиусом, рассчитанным таким способом, и наблюдаемым размером каверн, образующихся вблизи утолщения тела, изображенного на фото 6.12.1, и сносящихся вниз по потоку в область, где (Плессет (1949)). Во время наблюдений трудно проследить за каверной на последней стадии схлопывания, так как ее радиус становится очень малым, а радиальная скорость — очень большой, так что в отношении данных об этой стадии приходится полагаться большей частью на расчет.

В простейшем случае сферическая каверна схлопывается из состояния покоя при постоянной разности Из уравнения (6.11.18) с небольшим видоизменением получается

где максимальный радиус каверны. Интегрирование этого уравнения должно быть проведено численно, и окончательная зависимость радиуса каверны от времени начиная от состояния покоя, приведена на рис. 6.12.4. Момент времени при котором радиус каверны происходит ее полное схлопывание, согласно уравнению (6.12.6), можно либо найти непосредственно путем численного интегрирования, либо выразить аналитически через гамма-функцию, и он равен

Зависимость между относительными величинами

не содержит никаких параметров; было установлено, что эта зависимость удовлетворительно согласуется с наблюдениями схлопывающейся каверны при постоянной разности (на рис. 6.12.4 приведено сравнение теоретических результатов с наблюдаемыми (по фото 6.12.3)).

Интенсивная последняя стадия схлопывания происходит в такой короткий промежуток времени, что изменение давления будет, по-видимому, пренебрежимо малым в любых обстоятельствах; с другой стороны, предположение о том, что давление в каверне остается постоянным и равным давлению может перестать быть правильным. Если разность Для простоты считать постоянной, когда на этой последней стадии процесса имеем

На этой последней стадии большая часть располагаемой работы превращается в кинетическую энергию воды, и эта кинетическая энергия концентрируется во все меньшем объеме жидкости по мере стремления к 0. В заданной точке жидкости ее скорость при изменяется как (см. (6.11.13)), и очевидно, что большая часть жидкости сильно замедляется, хотя в пределах одного-двух радиусов каверны, считая от ее поверхности, происходит сильное ускорение жидкости. Это указывает на наличие максимума давления в жидкости. Из уравнений (6.11.15) и (6.11.16) находится явное выражение для давления:

в котором доминирует второй член в правой части; он положителен и имеет максимальное значение при Из выражений (6.12.9) и (6.12.10) следует, что для максимального давления при справедливо асимптотическое равенство

Таким образом, в случае каверны, схлопывающейся из состояния покоя под влиянием разности давлений около 1 атм, в момент, когда радиус каверны составляет 0,1 от его начального значения, максимальное давление в жидкости достигает 157 атм и радиальная скорость на границе каверны при дальнейшем уменьшении каверны равна это максимальное давление и скорость на границе продолжают быстро возрастать.

Эти соображения, выдвинутые Рэлеем (1917), показывают, что на плоской твердой поверхности, на которой периодически образуется и схлопывается полусферическая каверна, или на твердых стенках конической щели, занятой каверной, могут возникать очень большие давления, и они могут быть причиной локальных повреждений металлов. Подобные соображения менее убедительны в отношении влияния процесса схлопывания каверны, не находящейся в контакте с твердой поверхностью, так как анализ основан на предположении о несжимаемости жидкости и не дает никаких данных о том, как распространяются импульсы давления в разные стороны от схлопывающейся каверны. Эффекты сжимаемости становятся важными, когда скорость на границе каверны сравнима со скоростью звука в жидкости ( для воды), так как импульсы давления в этом случае, конечно, не проходят мгновенно расстояние от одной части жидкости до другой, как предполагалась неявно в проведенном выше анализе, и простой метод, позволяющий учесть эти эффекты, как это было сделано при рассмотрении гидравлического удара, уже не пригоден.

Более близкий к реальности анализ последних стадий процесса схлопывания должен также учитывать другие физические явления, которыми мы пренебрегали. Отклонения от сферической формы могут появляться из-за градиента давления окружающей среды (обусловленного влиянием силы тяжести или связанного с основным движением воды), а также, вероятно, из-за влияния соседней твердой границы, и они становятся более заметными в конце процесса схлопывания.

Кроме того, происходит смягчение процесса схлопывания за счет водяного пара, который наполняет каверну во время фазы увеличения ее радиуса, и за счет воздуха, который либо был в начальный момент в кавитационных ядрах, либо выделился из раствора через границу каверны за время ее расширения. Обычно считают, что часть располагаемой механической энергии не являющаяся пренебрежимо малой, превращается в акустическое излучение на некотором расстоянии от схлопывающейся каверны (остальная часть энергии диссипирует локально за счет вязкости и теплопроводности), однако получить надежные оценки максимума давления в излучаемом импульсе давления или ударной волне затруднительно.