4.4. Слой Экмана на границе вращающейся жидкости

Рассмотрим большую массу воды, первоначально находящуюся в покое под влиянием силы тяжести и приводящуюся в движение посредством воздействия на нее постоянного

касательного напряжения, приложенного на ее горизонтальной свободной поверхности. Это простая задача неустановившегося течения одного направления, в котором скорость и удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.3.9) и граничным условиям

в начальный момент и

для всех значений времени t, где — постоянное напряжение на свободной поверхности. Дифференцируя уравнение (4.3.9) по у, мы получаем уравнение и граничные условия для производной которые совпадают с граничными условиями для переменной и в задаче о течении полубесконечной жидкости, создаваемом плоской твердой границей, движущейся с постоянной скоростью в ее плоскости. Таким образом, скорость и в рассматриваемой здесь задаче получается небольшим видоизменением выражения (4.3.11)

и его интегрированием:

Это решение применимо при соответствующих условиях к распределению скорости в воде, которая приводится в движение ветром, дующим с постоянной скоростью над ее свободной поверхностью; правда, скорость воды на свободной поверхности с течением времени увеличивается и в результате этого напряжение, развиваемое ветром на воде, может изменяться, однако скорости воздуха обычно оказываются значительно больше скоростей воды, и это изменение напряжения мало. Тогда возникает естественный вопрос, применима ли формула (4.4.2) к системам большого масштаба и, в частности, к дрейфу на поверхности моря, вызываемому ветром. Течения в атмосфере и в океане редко представляют собой такие невозмущенные или равномерные течения над горизонтальными плоскостями, какие описаны выше, и перенос количества движения, создаваемый случайными флуктуациями скорости жидкости (турбулентностью), обычно значительно более важен, чем вязкие напряжения, однако, не говоря уже об этих очень сложных явлениях, можно убедиться, что вращение Земли оказывает существенное влияние на поверхностные движения воды.

Уравнение движения в осях, связанных с Землей, содержит силы инерции, которыми, как видно из выражения (3.2.9), являются: 1) кориолисова сила и (на единицу массы жидкости), где угловая скорость вращения Земли, и 2) центробежная сила, которая приближенно однородно распределена на протяжении больших областей земной поверхности и, следовательно, эквивалентна по своему влиянию (малому) изменению ускорения силы тяжести. В движении, подобном описываемому решением (4.4.2), скорость заметно изменяется на расстояниях порядка а сила вязкости на единицу массы жидкости имеет порядок таким образом, кориолисова сила становится сравнимой по величине с силой вязкости, когда время имеет величину порядка одного дня, и очевидно, что этот случай имеет отношение к геофизическим дрейфовым движениям.

Оказывается, что учет влияния кориолисовой силы в движениях, подобных (4.4.2), приводит к новому удивительно простому распределению скоростей, которое играет важную роль во многих вращающихся системах, что и оправдывает обсуждение его здесь. Основные свойства этого нового распределения скоростей заключаются в том, что оно является установившимся и что изменение скорости ограничено слоем конечной толщины, прилегающим к границе. Установившийся характер течения становится возможным в силу того, что если скорость жидкости зависит только от одной вертикальной координаты и изменяется как но направлению, так и по величине, то сила вязкости может быть всюду перпендикулярной локальной скорости, подобно кориолисовой силе, которая оказывается единственной внешней силой, действующей на жидкость. Установившееся течение можно было бы обнаружить путем анализа развития движения из состояния покоя, однако в дальнейшем примем его существование без доказательства и просто изучим его свойства.