Сила и момент, действующие на цилиндр в установившемся поступательном движении

Сила и момент, действующие на (единицу длины) движущегося цилиндра произвольного поперечного сечения, могут быть определены методами теории функций комплексного переменного, и хотя результаты, касающиеся результирующей силы,

действующей на твердое тело, известны из § 6.4, мы обратимся к этому вопросу еще раз, учитывая его важность и интерес, проявляемый к нему в специальных методах исследования двумерных течений. Мы будем рассматривать только установившееся поступательное движение тела; когда скорость тела переменна, к получаемым ниже выражениям следует добавлять силы и моменты, возникающие вследствие реакции жидкости на ускорение.

Обозначим компоненты силы, действующей на тело через и приступим к построению комплексной величины

где В — замкнутая кривая интегрирования, совпадающая с поверхностью тела, а черточкой отмечена комплексно-сопряженная величина. Скорость с компонентами по отношению к телу постоянна, и можно воспользоваться теоремой Бернулли (пренебрегая силой тяжести), чтобы заменить давление на величину первый член которой не влияет на результат интегрирования. Далее, если течение безвихревое, то имеем

а так как на поверхности тела как так и элемент пути интегрирования представляют собой комплексные величины с одинаковыми аргументами, то произведение будет действительно числом и его можно записать как Отсюда следует, что

Аналогично результирующий момент нормальных напряжений (в направлении против часовой стрелки) относительно начала координат, приложенный к цилиндру, равен

Путь интегрирования в выражениях (6.6.22) и (6.6.23) был взят по поверхности тела. Однако теорема Коши гласит, что если функция является аналитической в области между двумя

контурами то

так что в качестве пути интегрирования в выражениях (6.6.22) и (6.6.23) может быть выбрана любая замкнутая кривая, окружающая тело (если только, конечно, нет никаких особенностей функции в области между телом и выбранной замкнутой кривой). Очевидно, что полезно специально выбрать окружность большого радиуса, когда известно выражение для на больших расстояниях от тела.

Формулы (6.6.22) и (6.6.23), полученные Блазиусом применимы к любому установившемуся безвихревому течению в жидкости, окружающей тело. В дальнейшем они понадобятся нам в случае, в котором жидкость простирается до бесконечности и имеет там постоянную скорость . С этой целью воспользуемся рядом Лорана (2.10.7) для комплексного потенциала в области, расположенной вне круга, охватывающего тело, с центром в начале координат (с дополнительным слагаемым — как и в выражении (6.5.21), поскольку выражение (2.10.7) относится к течению в системе координат, неподвижной относительно жидкости на бесконечности). Тогда из выражения (6.6.22) получим

где коэффициенты зависят от а также от размера, формы и ориентации тела (в нашем случае параметр но мы временно сохранил его под знаком интеграла), а интеграл берется по любому замкнутому контуру С, содержащему внутри себя окружность, охватывающую тело. Интеграл можно вычислить непосредственно, выбирая контур С в виде окружности бесконечно большого радиуса или же замечая с точки зрения теории функций комплексного переменного, что подинтегральное выражение имеет полюс в начале координат; согласно любому из этих двух способов, интеграл равен произведению на коэффициент при в подинтегральном выражении (вычет), и поэтому

Таким образом, сочетание поступательного движения тела и циркуляции скорости вокруг него приводит к появлению боковой силы, нормальной к вектору скорости тела как было уже установлено ранее; если же результирующий объемный поток через поверхность тела будет ненулевым и

положительным, то этот поток в сочетании с поступательным движением приведет к появлению силы тяги или отрицательной силы сопротивления, параллельной вектору скорости

Аналогично для результирующего момента, действующего на тело относительно начала координат, получим

В отличие от силы момент зависит от формы тела.

В случае цилиндра произвольной формы его граница из плоскости z преобразуется в окружность радиуса с с центром в точке в плоскости с помощью общего разложения (6.5.19) или (6.5.20), согласно которому при больших коэффициент определяется выражением (6.5.22). В этом случае момент, действующий на цилиндр, равен

Для эллиптического цилиндра с полуосями соответствующее преобразование задается формулой (6.6.7) и

Поэтому момент относительно начала координат, действующий на цилиндр, равен

Направление момента против часовой стрелки подтверждает вывод, сделанный ранее исходя из вида линий тока, что распределение давления по поверхности эллипса стремится развернуть его относительно центра большей осью поперек потока.