2.8. Безвихревое соленоидальное течение в двусвязных областях пространства

Когда область, занятая жидкостью, не односвязна, не все пары путей, соединяющих точки в жидкости, образуют стягиваемую замкнутую кривую; грубо говоря, один путь может обходить одну сторону границы, а второй — ее другую сторону. В этих условиях можно показать, что криволинейный интеграл от вектора (как и раньше, соленоидальной части общего поля скоростей безвихревого течения) по пути, соединяющему точки может зависеть от выбора пути и этот интеграл может быть неоднозначным Результат о единственности решений, установленный в предыдущем параграфе, справедлив только в том случае, когда функция определяемая криволинейным интегралом, однозначна; интересно рассмотреть, что происходит, когда функция может не быть однозначной.

Сначала напомним, каким образом с топологической точки зрения классифицируются области пространства. В односвязной области пространства любые две точки можно соединить кривыми, целиком лежащими в области, и любые две такие кривые образуют стягиваемую замкнутую кривую. В многосвязной области все еще можно соединить любые две точки кривыми, целиком расположенными в области, но некоторые пары таких кривых образуют уже нестягиваемые замкнутые кривые. Порядок связности многосвязной области определяется числом различных перегородок в виде открытых поверхностей с граничными кривыми, целиком лежащими на границе многосвязной области, которые можно провести в ней без разделения ее на несвязные части; если можно ввести таких перегородок, область называется -связной. Например, внешняя область тора двусвязна, так как можно провести только одну перегородку (например, закрывающую «дырку» тора) без нарушения связности области. Введение каждой перегородки создает новую область (для которой обе стороны перегородки служат частью ее границы), порядок связности которой на единицу меньше порядка связности исходной области.

Порядок связности можно также определить числом попарно несовмещаемых замкнутых кривых, которые можно провести в области. Два контура в области называются совмещаемыми,

если их можно совместить друг с другом путем непрерывной деформации, не выходя из этой области; иногда совмещаемость такова, что имеется взаимно однозначное соответствие между точками на обоих контурах (т. е. каждая точка одного контура совпадает только с одной точкой другого), а иногда при совмещении один из контуров превращается в двух- или многократный. В односвязной области все контуры оказываются совмещаемыми (и стягиваемыми). В двусвязной области, такой, как внешняя область тора, все стягиваемые контуры совмещаемы друг с другом, а все нестягиваемые контуры, которые нанизаны на тор, совмещаемы друг с другом; однако никакой контур первой группы не совмещается ни с одним из контуров второй группы. Таким образом, существует в точности два несовмещаемых контура, которые можно провести в двусвязной области. В -связной области можно провести несовмещаемых контуров, один из которых будет стягиваемым, а нестягиваемыми. Каждая из перегородок, которые можно ввести в -связную область без разделения ее на несвязные части, исключает один контур из общего числа несовмещаемых нестягиваемых контуров, которые можно провести в этой области.

Двусвязные области имеют большое значение в механике жидкости. Течение, создаваемое длинным твердым цилиндром, движущимся в направлении нормали к своей оси, происходит именно в такой области, и тот факт, что некоторые замкнутые кривые в таком случае нестягиваемы, положен в основу теории подъемной силы (§ 6.6 и 6.7). Внешняя область тора двусвязна, и это используется при анализе движения такого рода, как движение дымового кольца (§ 7.2). Течения в областях с порядком связности, большим двух, встречаются нечасто, но, во всяком случае, опираясь на результаты для двусвязной области, нетрудно получить результаты для областей с порядком связности три и четыре. Поэтому остальная часть этого параграфа будет посвящена течениям в двусвязных областях пространства.

Удобно использовать терминологию, относящуюся к конкретному случаю течения в двусвязной области вне твердого цилиндра конечной длины. Рассмотрим различные замкнутые кривые, которые можно провести в жидкости. Некоторые из них оказываются стягиваемыми, и криволинейный интеграл от скорости по этим кривым, согласно теореме Стокса, равен нулю. Те же кривые, которые один раз полностью обходят вокруг цилиндра (делают один виток), будут нестягиваемыми. Любые две кривые, которые делают один виток вокруг цилиндра, являются совмещаемыми, причем для точек этих кривых выполняется взаимно однозначное соответствие; поэтому поверхность, образуемая этими кривыми в процессе совмещения, образует поверхность, расположенную в жидкости и ограниченную двумя замкнутыми кривыми. По

теореме Стокса для такой открытой поверхности криволинейные интегралы от по двум замкнутым кривым, взятые в одном и том же направлении по отношению к цилиндру, равны; следовательно,

для всех контуров, охватывающих цилиндр один раз; неизвестная величина х называется циклической постоянной поля скорости

Другие нестягиваемые кривые обходят цилиндр больше одного раза, например раз. Любые две из таких кривых совмещаемы при наличии взаимно однозначного соответствия их точек, и теорема Стокса, примененная, как и раньше, к полосе, образуемой при деформации их в процессе совмещения, показывает, что криволинейные интегралы от по двум таким замкнутым кривым имеют одно и то же значение. Однако среди контуров, обходящих цилиндр раз, содержится контур, который повторяет раз замкнутую кривую, обходящую цилиндр только один раз. Следовательно, для всех контуров, обходящих цилиндр раз,

Это равенство дает циркуляцию (связанную со скоростью по любой замкнутой кривой, проведенной в жидкости, при условии, что для кривой, не обходящей цилиндр, равно нулю.

Если теперь определить функцию

где интеграл берется по некоторому пути, лежащему в жидкости и соединяющему точки и то, очевидно, значение функции зависит от выбора пути. Разность между двумя значениями соответствующими двум выборам пути из точки О в точку равна криволинейному интегралу от по замкнутой кривой, образованной этими путями вместе, а этот интеграл, как показывает равенство (2.8.2), должен быть равен некоторому целому числу, умноженному на циклическую постоянную х. Таким образом, в двусвязной области функция в общем случае многозначна, причем разность между возможными значениями представляет собой величину, кратную х. Безвихревое

соленоидальнее поле течения в двусвязной области называется циклическим, если х не равна нулю; если же то оно называется ациклическим, и функция однозначна, как в случае течения в односвязной области.

Следует отметить, что функция определяемая выражением (2.8.3), представляет собой, однако, непрерывную функцию от х (когда конечно). По мере того как точка движется непрерывно вокруг цилиндра в направлении против часовой стрелки, функция изменяется непрерывно и увеличивается на величину х, когда точка возвращается в исходное положение после завершения одного полного обхода цилиндра. Для всех точек жидкости бесконечно малое изменение вектора х точки приводит к бесконечно малому изменению величины как и раньше, справедливо выражение

Конечно, вектор представляет собой однозначную функцию от х в любых условиях.

Одним примером циклического безвихревого соленоидального течения может служить течение, создаваемое вихревой нитью, подобное описанному в § 2.6. Поле скорости в безграничной жидкости, связанное с одиночной вихревой нитью (которая обязательно либо замкнута, либо ее концы простираются в бесконечность), по определению всюду соленоидальное и безвихревое, за исключением точек на самой вихревой нити; поэтому в двусвязной области всюду вне вихревой нити и циклическая постоянная для функции равна интенсивности вихревой нити. В самом деле, выражение (2.6.6) определяет в явном виде именно потенциал скорости течения, связанного с замкнутой вихревой нитью интенсивности х, т. е.

где телесный угол, стягиваемый замкнутой вихревой нитью в точке х. Как и ожидалось, функция возрастает на величину х, когда точка с координатой х пробегает один раз по любому замкнутому пути вокруг вихревой нити в положительном направлении по отношению к вектору ее завихренности. В предельном случае прямолинейной вихревой нити бесконечной длины вихревую нить можно замкнуть полуокружностью бесконечного радиуса, так что

где полярный угол, отсчитываемый в направлении против часовой стрелки в плоскости, нормальной к вихревой нити, причем в точке с координатой х направление относительно

вихревой нити считается произвольным. Следует отметить, что этот потенциал скорости дает то же самое поле течения, что и функция тока (2.6.5), и выражение для комплексного потенциала течения в плоскости нормальной к вихревой нити, имеет вид