5.8. Пограничный слой на плоской пластине

Одно из простых течений в установившемся двумерном пограничном слое наблюдается в случае, когда плоская пластина очень малой толщины, имеющая длину I и значительно большую чем I ширину, помещена в установившийся однородный поток жидкости (имеется в виду поток, скорость которого была бы постоянной в отсутствие пластины); поток направлен параллельно длине пластины и перпендикулярно ее кромке. Это течение особенно важно потому, что оно позволяет проводить стандартное сравнение величины поверхностного трения на плоских тонких телах, таких, как крылья самолетов, расположенные по потоку. В качестве удобной идеализации реальных условий будем считать толщину плоской пластины равной нулю. Таким образом, при отсутствии каких-либо эффектов вязкости пластина не будет вносить возмущений в поток и скорость жидкости будет постоянной, равной, скажем, Для реальной жидкости, в которой должно выполняться условие прилипания на пластине, жидкость вблизи пластины замедляется, или, что равносильно, происходит диффузия завихренности от пластины, а в результате этого формируется пограничный слой на пластине, в котором скорость жидкости отличается от а завихренность не равна нулю. В результирующем установившемся состоянии толщина пограничного слоя будет мала по сравнению с I при Вследствие замедления жидкости вблизи пластины линии тока вне пограничного слоя отклоняются в поперечном направлении; если рассматривать область невязкого течения, то картина будет такой, как если бы пластина имела некоторую толщину. Однако при условии, что толщина пограничного слоя всюду мала, будут малы и возмущения в распределении скорости в области невязкого течения и ими можно пренебречь в первом приближении

В этом приближении скорость на внешней границе пограничного слоя постоянна и равна Аналогичным образом давление на внешней границе пограничного слоя будет постоянным, и, следовательно, оно будет приближенно постоянным во всем пограничном слое; таким образом, уравнения пограничного слоя (5.7.1) и (5.7.2) с учетом предположения об установившемся характере течения приводятся к виду

Если положить то второе из этих уравнений будет выполняться тождественно и тогда уравнение (5.8.1) будет содержать только одну зависимую переменную Поместим начало координат на передней кромке пластины, так что задней кромке пластины будет соответствовать граничные условия на обеих сторонах слоя

а граничное условие для набегающего потока

Итак, получена полная система уравнений и граничных условий.

Местная толщина пограничного слоя, скажем вновь определяемая некоторым подходящим способом, зависит здесь от х. Очевидно, что толщина должна увеличиваться с расстоянием х от передней кромки пластины, так как сила трения, порождаемая каждым дополнительным участком поверхности пластины, вносит вклад в потерю количества движения жидкости, проходящей над этим участком поверхности. Поскольку время, в течение которого жидкая частица проходит пластину при движении с постоянной скоростью равно то из обычных соображений о диффузии завихренности приходим к заключению, что локальная толщина пограничного слоя увеличивается по х как Имеется и другой способ получения этого важного вывода. Для этого следует заметить, что не может зависеть от длины I, поскольку распределение скорости в пограничном слое в точке х определяется лишь вязкой диффузией в направлении у и конвекцией завихренности от лежащей вверх по потоку области течения и не может зависеть от существования твердой границы вниз по потоку (если не учитывать влияние ее на распределение скорости по внешней границе пограничного слоя; в данном случае такого влияния нет). Кроме того, из (5.7.4) следует, что величина характеризующая

Рис. 5.8.1. Распределение скорости в пограничном слое на плоской пластине.

многочисленные измерения распределения скорости и в пограничном слое на гладкой плоской пластине малой толщины, расположенной вдоль потока, которые показали хорошее соответствие с распределением скорости на рис. 5.8.1. Результаты измерений дали также хорошее подтверждение параболического роста толщины пограничного слоя в соответствии с (5.8.3).

Одно из полезных свойств полученного решения состоит в том, что оно позволяет оценить касательную силу, действующую со стороны жидкости на пластину. Сила трения на единицу площади пластины на расстоянии х от ее передней кромки равна

в соответствии с численным решением; изменение этой силы по закону обусловлено, конечно, увеличением толщины пограничного слоя по закону х поскольку форма профиля скорости не зависит от х. Таким образом, сопротивление, оказываемое жидкостью с обеих сторон пластины единичной ширины и длины I, равно

Эта оценка общего сопротивления трения приближенно применима к любому тонкому двумерному телу длины I, расположенному вдоль потока (§ 5.11).

Можно получить также и численное значение толщины пограничного слоя. Из рис. 5.8.1 видно, что величина достигает значения 0,99 при . В качестве менее

произвольной меры толщины пограничного слоя служит толщина вытеснения, определяемая как

Толщину вытеснения можно представить себе как расстояние, на которое смещаются линии тока в поперечном направлении на внешней границе пограничного слоя вследствие замедления жидкости в пограничном слое. Согласно численному решению, имеем

(см. рис. 5.8.1). Отсюда, например, при получаем значения равные 0,21 и 0,06 см для воздуха и воды соответственно при нормальной температуре.

Следует напомнить, что приближенные уравнения пограничного слоя справедливы только при больших числах Рейнольдса, построенных по линейному размеру твердой границы, и пре условии, что величина мала по сравнению с Эти условия выполняются для плоской пластины длины I при с возрастающей точностью при во всей области течения, за исключением окрестности передней кромки пластины при этой малой окрестности число Рейнольдса имеет порядок единицы, величина определенная по (5.8.3), имеет порядок величины х, а изменения величин в направлении х не меньше соответствующих изменений в направлении у. В силу этого мы не можем ожидать, чтобы описанное выше течение имело место на расстояниях порядка от передней кромки пластины. Лучшие приближения для течения в этой области можно найти в специальных руководствах

Можно также получить улучшенное приближение для описания течения при значениях х, для которых если учесть влияние пограничного слоя на распределение скорости вне его. При получении первого приближения для течения в пограничном слое мы пренебрегали этим влиянием и считали, что на внешней границе пограничного слоя скорость не зависит от х. В этом приближении было установлено, что на плоской пластине образуется пограничный слой с толщиной вытеснения, определяемой выражением (5.8.10). Мы, очевидно, получим лучшее приближение для течения в невязкой области, если будем искать безвихревое обтекание параболического цилиндра полуширины помещенного в поток со скоростью далеко

впереди цилиндра. Соответствующее распределение касательной скорости на поверхности цилиндра можно будет тогда использовать (при новом интегрировании уравнений пограничного слоя) в качестве распределения скорости, к которому стремится и при

Имеется очевидное сходство между рассмотренным выше установившимся течением вдоль плоской пластины, для которого пограничный слой растет как при неизменном профиле скорости, и неустановившимся течением, возникающим при внезапном приведении в движение со скоростью бесконечной пластины в ранее покоящейся жидкости. В последнем течении, описанном в § 4.3, «пограничный слой» растет как а распределение скорости остается неизменным при всех Рэлей высказал предположение, что зависящее от времени течение для бесконечной пластины можно рассматривать как приближение к установившемуся обтеканию полубесконечной пластины, если заменить на (в обоих случаях оси координат фиксированы относительно пластины); это приближение иногда оказывается приемлемым (за неимением более точных решений) и в других задачах обтекания полубесконечных тел, для которых скорость вне пограничного слоя постоянна. Указанная аналогия между двумя видами течений чисто качественная, как это можно увидеть из сравнения сил трения на единицу площади плоской пластины, а именно: для бесконечной пластины сила трения равна а для полубесконечной пластины она равна Различие между этими двумя течениями можно установить с использованием уравнения движения для течения с почти постоянным давлением и малыми изменениями параметров в направлении координаты х, т. е. уравнения

В случае установившегося течения для полубесконечной пластины левая часть этого уравнения становится равной и а в случае зависящего от времени течения для бесконечной пластины она равна или если мы положим Выражение и хорошо аппроксимируется членом в случае течения, в котором скорость ( близка к постоянной скорости (это соображение было положено в основу при выводе уравнений Озеена (4.10.2), которые специально и предназначались для представления течения в области, далеко удаленной от тела, помещенного в однородный поток); однако обратное утверждение неверно.

Проведенное выше вычисление распределения скорости вблизи плоской пластины и соответствующие оценки силы трения и толщины вытеснения справедливы только тогда, когда течение

Рис. 5.8.2. Полная сила трения на единицу ширины гладкой плоской пластины длины I в потоке со скоростью Кривая линия перехода имеет форму, типичную для экспериментальных наблюдений, но ее положение на графике зависит от условий опыта. 1 — полностью ламинарный пограничный слой: 2 — полностью турбулентный пограничный слой.

в пограничном слое установившееся или «ламинарное» на всей поверхности плоской пластины. В действительности при локальных числах Рейнольдса превышающих значение «600, течение в пограничном слое становится неустойчивым. В этом случае возмущения в пограничном слое возрастают и на некотором расстоянии вниз по потоку происходит переход к другому типу течения. Наблюдения показывают, что этот новый режим течения характеризуется постоянной и случайной неустойчивостью, хотя распределение стационарной средней скорости имеет в общем ту же самую форму, что и в пограничном слое. Сила трения на стенке в таком турбулентном пограничном слое значительно превосходит соответствующую величину в ламинарном пограничном слое при одной и той же скорости внешнего потока; это обусловлено тем, что случайные поперечные движения в турбулентном пограничном слое переносят частицы жидкости с большой скоростью из внешних слоев в область вблизи стенки и тем самым обеспечиваются более быстрые процессы переноса в поперечном направлении по сравнению с молекулярной диффузией.

В этой книге мы не будем обсуждать турбулентное течение, однако ввиду важной роли полной силы трения на плоской пластине как стандартной величины при сравнении обтекания различных двумерных тонких тел желательно дать несколько замечаний об имеющихся данных. Из приведенного выше критерия устойчивости и выражения (5.8.10) следует, что при меньшем приблизительно в пограничном слое на плоской пластине длины I всюду имеет место ламинарное течение (это соответствует пластинам длиной 180 и 13 см для воздуха и воды соответственно

при нормальной температуре и скорости 100 см/сек). Когда число Рейнольдса превосходит это значение, наблюдается переход к турбулентному течению сначала вблизи задней кромки пластины, а потом постепенно выше по потоку при соответствующем росте полной силы трения на пластине. На рис. 5.8.2 показано типичное изменение полного сопротивления в зависимости от числа Рейнольдса, наблюдаемое в аэродинамической трубе или гидроканале. При очень большом числе Рейнольдса большая часть пограничного слоя на плоской пластине становится турбулентной, а безразмерная полная сила трения снова уменьшается при увеличении числа Рейнольдса, хотя и не так быстро, как для полностью ламинарного слоя. Положение точки перехода от ламинарного течения к турбулентному в пограничном слое для фиксированного числа Рейнольдса может значительно изменяться при изменении степени возмущения набегающего потока. В зависимости от этого будет изменяться положение кривой на рис. 5.8.2, соединяющей две прямые полного сопротивления для полностью ламинарного и полностью турбулентного пограничных слоев; для сильно возмущенного внешнего потока первое отклонение измеренного сопротивления от прямой для полностью ламинарного слоя может произойти вблизи значения в то время как для очень спокойных потоков, получаемых в современных аэродинамических трубах, оно может не появляться вплоть до значения На положение точки перехода к турбулентному течению в пограничном слое может также влиять степень шероховатости плоской пластины и форма ее передней кромки, особенно в случае набегающих потоков с очень низким уровнем возмущений.