4.3. Неустановившееся течение одного направления

Как было показано в § 4.2, градиент давления в течении одного направления направлен вдоль линий тока и зависит только от времени Почти во всех случаях такого течения, рассматриваемых в этом параграфе, движение жидкости создается различными неустановившимися движениями границ, причем давление далеко вверх и вниз по потоку сохраняется одинаковым во время движения. Следовательно, для этих случаев и уравнение (4.2.2) принимает вид

Это уравнение, называемое уравнением диффузии или теплопроводности, оказывается точно таким же, как уравнение, описывающее двумерное распределение температуры в неподвижной среде с коэффициентом термодиффузии и в связи с этим можно воспользоваться уже установленными для него математическими результатамих). Один наиболее полезный из этих результатов заключается в решении, описывающем распределение температуры в среде с первоначально постоянной температурой во всей плоскости при выделении в момент в точке конечного количества тепла («начальный точечный источник»). Если величину и считать приращением температуры в точке в текущий момент времени t, то это решение имеет вид

где постоянная А — мера количества выделяемого тепла, определяемая из начальных условий,

На основании этого элементарного решения можно построить интеграл, выражающий распределение температуры в любой момент через ее распределение по всей плоскости в начальный момент времени, а именно

Основной смысл этого решения состоит в том, что поскольку уравнение (4.3.1) линейно и поскольку не требуется удовлетворять граничные условия, то выделенное вначале тепло в каждом элементе площади на плоскости распространяется как будто от изолированного начального точечного источника с постоянной А в решении (4.3.2), замененной на и Аналогичные решения имеются для пространств одного и трех измерений; первое из них может быть получено из решения (4.3.3), если функцию и считать не зависящей от z и проинтегрировать (4.3.3) по

Сглаживание плоского разрыва скорости

Простая и важная задача, к которой может быть применено решение (4.3.3), состоит в определении влияния вязкости на переход от скорости в одном установившемся равномерном потоке

Рис. 4.3.1. Переходный слой между двумя параллельными потоками.

к скорости в другом таком же соприкасающемся с ним потоке. Предположим, что переходный слой сначала имеет нулевую толщину (такое предположение само по себе не соответствует реальному начальному условию, однако имеются возможности использовать такое решение) и, следовательно, представляет собой вихревую пелену, совпадающую с плоскостью Тогда, рассматривая систему координат, движущуюся со средней скоростью двух потоков, и учитывая скачок скорости поперек слоя, мы должны принять

При этом решение (4.3.3) дает

Это распределение скоростей, зависящее только от отношения изображено на рис. 4.3.1. С течением времени изменяется только ширина переходного слоя (как если мы условимся определять толщину слоя расстоянием вдоль оси у от места, где до места, где то толщина этого слоя будет равна

Можно было сразу ожидать, что распределение скорости должно быть функцией только отношения так как размерных

параметров задачи не достает для того, чтобы обеспечить зависимость решения по отдельности от у и от При замене зависимой переменной отношением наша задача сводится к решению уравнения

при начальном условии

Единственной размерной величиной, от которой, кроме координаты у и времени t, может зависеть функция является Из этих трех величин можно составить только одну безразмерную комбинацию, а именно поэтому требование независимости распределения скорости от используемых размерных единиц неизбежно приводит к утверждению о зависимости только от отношения Опираясь на этот вывод, можно было бы преобразовать уравнение (4.3.5) в обыкновенное дифференциальное уравнение с единственной независимой переменной его решением вновь будет (4.3.4). Вообще в механике жидкости имеется много задач, в которых бывает выгодно предварительно установить по соображениям размерностей, что различные переменные (координаты и время) должны появляться в решении только в определенных комбинациях и что исходное дифференциальное уравнение в частных производных может быть преобразовано в обыкновенное дифференциальное уравнение. Такое решение, содержащее время только в сочетании с координатой, часто называют подобным (автомодельным) решением, так как профиль распределения скорости по координате в любой момент времени подобен самому себе.

Выражение (4.3.4) описывает скорость в переходном слое, который возникает из начального разрыва на общей границе двух потоков, и нетрудно видеть, что оно дает также асимптотическое распределение скорости при для произвольной начальной формы переходного слоя. Предположим, что при распределение скорости в слое имеет вид

где при (последнее условие достигается путем соответствующего выбора положения начала координат Кроме того, если функция такова, что

интеграл ограничен, то мы можем построить функцию

которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.3.1), если

(дифференцирование под знаком интеграла в выражении (4.3.7) подтверждается апостериори очевидной равномерной сходимостью дифференцируемого интеграла при и которая удовлетворяет начальному условию (4.3.6), если функции выбраны в качестве коэффициентов в представлении интегралом Фурье. Затем мы видим, что интеграл в выражении (4.3.7) стремится к нулю при по крайней мере как так как по определению и ввиду условия Таким образом, распределение скорости в слое в конце концов оказывается таким же, как если бы он образовался из простого разрыва.

Этот пример неустановившегося течения одного направления иллюстрирует несколько характерных свойств рассмотренного вязкого течения и некоторых других близких ему. Во-первых, существует постепенное распространение или диффузия изменения скорости поперек линий тока, что происходит под влиянием касательной компоненты силы, приложенной к плоскостям, нормальным к оси у. Условная глубина проникновения этих изменений скорости в области однородной скорости через некоторый промежуток времени имеет порядок Скорость этого проникновения меньше для жидкостей с меньшим кинематическим коэффициентом вязкости и уменьшается с увеличением времени t, так как градиенты скорости и их производные по времени становятся постепенно все меньше. Во-вторых, распределение скорости в слое асимптотически стремится к автомодельной форме, зависящей только от при произвольной начальной форме переходного слоя. Эта асимптотическая форма устанавливается вследствие того, что отклонение начального распределения скорости от простого разрыва эквивалентно действию множества начальных «источников» и «стоков» с нулевой полной интенсивностью, влияние которых постепенно исчезает, по мере того как они распространяются и накладываются друг на друга.