Тонкие профили в двух измерениях

Типичный тонкий профиль характеризуется как толщиной, так и определенной изогнутостью, подобно профилю, показанному на рис. 6.7.9, и касательная к его поверхности всюду, за исключением области вблизи передней части тела, составляет малый угол с направлением набегающего потока. Острую кормовую кромку разместим в начале координат, а переднюю кромку определяемую в точке профиля, наиболее удаленной от кормовой кромки, расположим на оси х в точке (отрезок с называется хордой профиля). Тогда уравнения верхней и нижней поверхностей профиля можно написать в виде

Влияние ненулевой толщины на поток можно учесть отдельно путем распределения источников, как уже объяснялось выше.

Поэтому нам надо сейчас рассмотреть безвихревое течение, создаваемое криволинейной бесконечно тонкой дужкой помещенной неподвижно в потоке, скорость которого в бесконечности имеет компоненты где а — малый угол атаки профиля (рис. 6.9.2). Поток не проходит через кривую и вообще на ней существует разрыв касательной компоненты скорости; это значит, что дужка в точности эквивалентна вихревой пелене, совпадающей с кривой интенсивность которой распределена таким образом, чтобы нормальная компонента скорости обращалась в нуль при

С точпостью до величин первого порядка малости относительно возмущения скорости ( обусловленного присутствием в потоке дужки, условие непротекания через нее можно написать в виде

Кроме того, мы воспользуемся тем, что и предположим с целью оценки возмущения скорости что вихревая пелена расположена на оси х в интервале а не на линии Каждый элемент оси х ведет себя как точечный вихрь интенсивности и приближенное соотношение, из которого можно определить при заданной форме профиля, записывается так:

Практический недостаток такого рассмотрения заключается в том, что интенсивность особенности не определяется локальной формой профиля, а должна находиться как решение интегрального уравнения (6.9.5), связанного с профилем в целом.

Рис. 6.9.2. Представление бесконечно тонкого профиля (дужки) плоской вихревой пеленой.

Нельзя ожидать, что уравнение (6.9.5) имеет единственное решение относительно так как течение около любого тела в двумерном поле не определено до тех пор, пока не известна циркуляция вокруг тела. В § 6.7 мы видели, что в случае тел с острой кормовой кромкой, подобных профилям, влияние вязкости на поверхности профиля при установившемся движении заставляет циркуляцию принимать такое значение, при котором два потока жидкости с обеих сторон профиля плавно сходят с его кормовой кромки, не огибая ее (гипотеза Жуковского). В этих условиях скорость жидкости этих двух потоков вблизи кормовой кромки одинакова, поэтому интенсивность вихревой пелены, заменяющей профиль, равна там нулю. Следовательно, интегральное уравнение (6.9.5) относительно нужно решать с условием

С другой стороны, нельзя применить еще какое-нибудь условие, аналогичное гипотезе Жуковского, на передней кромке, и в общем случае на острой передней кромке скорость бесконечно велика. Используемые на практике профили имеют скругленную переднюю кромку, однако у нашего тонкого профиля в виде дужки передняя кромка тоже острая, и появление бесконечной скорости на ней становится неизбежным; впрочем анализ от этого не страдает, так как интегральное уравнение (6.9.5) содержит только малую компоненту скорости, нормальную к хорде профиля. Вблизи острой передней кромки в точке (в виде точки возврата) скорость на поверхности профиля изменяется как на одной стороне и как на его другой стороне (см. § 6.5), где — постоянная, а множители включены для того, чтобы сделать коэффициент безразмерным; поэтому вблизи предполагается, что

В действительности можно пойти еще дальше и считать, что

так как различие скоростей на обеих сторонах профиля вблизи

передней кромки исчезает, когда из них вычитается локальное решение, соответствующее течению вокруг передней кромки (в этом можно убедиться на основе формулы (6.7.2) для скорости на поверхности плоской пластины).

Решение интегрального уравнения (6.9.5) можно получить, хотя и не в замкнутом виде, представляя циркуляцию рядом Фурье по переменной 6, связанной с переменной х соотношением

Угол изменяется от до вдоль хорды профиля. Предпочтительнее работать с конечной неизвестной функцией, поэтому мы рассмотрим не а модифицированную функцию

которая обладает удобным свойством обращения в нуль при и при Теперь мы можем предположить, без какой-либо потери общности, что это модифицированное распределение — нечетная функция от с периодом так что

Написанная функция удовлетворяет требуемому условию плавного обтекания кормовой кромки.

Подстановка ряда (6.9.8) в уравнение (6.9.5) дает

где принято обозначение табличного интеграла

Следовательно,

и поэтому коэффициенты явно выражаются через форму профиля

Характерной особенностью течения, представляющей наибольший интерес, является полная циркуляция вокруг движущегося профиля и соответствующая ей подъемная сила. Для коэффициента подъемной силы получается выражение

Чтобы вычислить момент силы, действующей на профиль, надо рассмотреть элемент вихревой пелены, который создает подъемную силу Тогда безразмерный коэффициент момента относительно передней кромки

Таким образом, для многих практических целей достаточно численно определить только один или два интеграла, зависящих от формы профиля.

Точность этих результатов для тонких профилей может быть проверена путем сравнения с точными результатами из § 6.7 для профилей Жуковского, полученными методом конформного отображения. Для симметричного профиля Жуковского, основа которого представляет собой плоскую пластину, было установлено, что коэффициент подъемной силы (см. (6.7.13) — результат не точный, но вполне пригодный для сравнения) равен

в то время как выражение (6.9.11) из теории тонкого профиля дает его значение не зависящее от толщины. Для профиля с нулевой толщиной в виде дуги окружности из множества профилей Жуковского с изогнутой средней линией, рассмотренных в § 6.7, было найдено, что коэффициент подъемной силы (см. (6.7.14)) равен

где угол между хордой профиля и касательной к кормовой кромке; в то же время из выражения (6.9.11) после небольших вычислений для получается

Итак, в каждом случае главный член получается точным.