Удар струи жидкости о плоскую стенку

Если установившаяся цилиндрическая струя воды, окруженная воздухом, ударяется о наклонную плоскую твердую стенку, то струя превращается в слой воды, прилегающий к стенке, в котором течение всюду направлено от точки удара. Предположим, что скорость струи постоянна и имеет достаточно большую величину, чтобы влияние силы тяжести было малым. Тогда везде на свободной поверхности, согласно теореме Бернулли, скорость равна Скорость внутри слоя на некотором расстоянии от точки удара также должна быть приблизительно постоянной (за исключением тонкого пограничного слоя вблизи стенки), так как скорость в слое имеет одинаковое направление, и, следовательно, давление поперек слоя постоянно. Таким образом, остается узнать только распределение толщины слоя в зависимости от направления потока вдали от точки удара. Полный массовый расход в слое равен, конечно, расходу в струе, однако остается неизвестным его распределение в разных направлениях.

Струи круглого поперечного сечения представляют особый интерес, поскольку они могут быть легко воспроизведены в

Рис. 6.3.4. Струя жидкости, ударяющаяся о наклонную плоскую стенку (двумерный случай).

лаборатории. При этом плоская твердая стенка может быть заменена некоторой плоскостью симметрии, а именно две круглые струи можно направить так, чтобы их оси пересекались. В получаемом таким путем слое воды исключено влияние трения на твердой стенке, и слой распространяется в радиальных направлениях до тех пор, пока его толщина (изменяющаяся в соответствии с законом сохранения массы обратно пропорционально расстоянию вдоль радиуса) не станет столь малой, что под влиянием поверхностного натяжения слой распадется на отдельные капли.

Очевидно, что уравнение количества движения налагает ограничение на разделение струи стенкой. Поскольку результирующей сил воздействия границ на воду в направлениях, параллельных стенке, нет, количество движения слоя равно компоненте количества движения струи в плоскости стенки. Это дополнительное соотношение вообще не дает возможности определить распределение толщины слоя в любом направлении, но его достаточно в случае двумерной струи, которая создает слой, распределение толщины которого вполне определяется только двумя величинами, одной для каждого из двух потоков, движущихся от точки удара. Поэтому перейдем к рассмотрению удара двумерной струи как еще одного примера использования уравнения количества движения в интегральной форме, несмотря на ограниченное значение этого случая с физической точки зрения.

На рис. 6.3.4 показана двумерная струя ширины ударяющаяся о стенку под углом а к ее нормали и разделяющаяся на два потока, ширина каждого из которых постепенно становится постоянной и равной соответственно. Выберем контрольную

поверхность, которая показана на рисунке штриховой линией и на которой скорость равна а давление равно давлению в окружающем струю воздухе, за исключением окрестности центральной точки удара О на стенке. Векторное уравнение (6.3.3) в проекции на направление, параллельное стенке, принимает вид

Из закона сохранения массы

и из (6.3.15) получаем

Кроме того, можно получить некоторую информацию о распределении давления на стенке вблизи точки О. Уравнение (6.3.3) в проекции на направление нормали к стенке принимает вид

где интеграл берется по поверхности стенки, и величина нормальной силы давления струи на стенку (на единицу толщины по нормали к плоскости чертежа). Далее, рассмотрение момента количества движения относительно точки О, поступающего в контрольную поверхность и выходящего из нее, и сил, действующих на жидкость внутри контрольной поверхности, показывает, что центр давления С (т. е. точка, в которой равнодействующая нормальная сила действующая на стенку, имеет момент относительно точки О, равный моменту всех сил давления на стенку) есть точка, расположенная в направлении против часовой стрелки от нормали и на расстоянии с от точки О, определяемом уравнением

Следовательно,

Таким образом, если бы твердая стенка была шарнирно закреплена в точке О, то она стремилась бы установиться под прямым углом по отношению к струе.

Этот последний вывод качественно справедлив также в случае твердой плоской пластины конечной ширины, шарнирно закрепленной по одной из линий, делящей ее пополам, и помещенной в поток большой ширины; аналогично этому пластины прямоугольной формы падают через бесконечную жидкость таким образом, что они поворачиваются своей широкой стороной в направлении падения. Объяснение этих фактов следует искать в расположении на стенке или на пластине критической точки, в которой

Рис. 6.3.5. Конический кумулятивный заряд. Справа скорости изображены в осях, движущихся вместе с вершиной конуса. 1 — взрывчатое вещество; 2 — полый металлический конус.

давление максимально. По мере того как угол а возрастает от нуля, критическая точка удаляется от центральной точки О в сторону точки В (рис. 6.3.4) по двум причинам. Первая состоит в том, что в набегающей струе больше жидкости движется в сторону точки А, так что разделяющая линия тока в струе (которая позже проходит через критическую точку) отклоняется от оси струи в сторону точки В. Вторая причина заключается в том, что разделяющая линия тока должна подходить к критической точке под прямым углом к пластине (поскольку любая линия тока, проходящая через критическую точку, в безвихревом течении должна быть параллельна главной оси локального тензора скоростей деформации, а линия тока на поверхности пластины является одной из главных осей) и для этого линия тока по мере своего приближения к пластине должна поворачиваться в сторону точки В.

Специальный случай осесимметричной струи, для которой уравнение количества движения как раз дает наибольшую часть требуемой информации, возникает в теории «кумулятивных зарядов». Типичный кумулятивный заряд состоит из полого металлического конуса с открытым основанием и взрывчаткой, прилегающей к внешней части конуса, как изображено на рис. 6.3.5, а. Когда происходит взрыв (более или менее одновременно во всем взрывчатом веществе), металлическая стенка конуса вынуждена двигаться внутрь его под влиянием большого давления; при этом под действием очень больших напряжений она становится пластичной и способной течь подобно жидкости. Каждая часть стенки конуса движется сначала в направлении внутренней нормали, так что металлический слой продолжает сохранять форму конуса (хотя и с увеличивающейся толщиной стенки), за исключением области

Рис. 6.3.6. Течение в колене трубы, вращающейся относительно оси

что константа Бернулли видоизмененная с учетом действия центробежной силы, тем не менее постоянна во всей области установившегося течения.

Когда все величины, характеризующие поле течения, отнесены к вращающейся с постоянной угловой скоростью системе координат, уравнение движения (6.2.3) с включенной в него массовой силой инерции (3.2.10) записывается в форме

Следовательно, если течение по отношению к этой системе координат установившееся и имеет завихренность (соответствующую нулевой завихренности абсолютного течения), то величина

постоянна всюду в поле течения. Таким образом, получается простое явное выражение для давления через скорость, и оно может быть применено во многих других задачах.

В качестве наглядного примера рассмотрим систему труб, изображенную на рис. 6.3.6, а. Жидкость выталкивается по вертикальной трубе и разделяется на два потока в соединенной с ней горизонтальной трубе, которая вращается относительно вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью Предположим, что скорость постоянна в каждом поперечном сечении вертикальной трубы, так что абсолютное течение везде безвихревое. По отношению к осям х и у, которые вращаются вместе с горизонтальной трубой, завихренность равна и параллельна оси так что когда все скорости в горизонтальной трубе на некотором расстоянии от места соединения труб становятся одного направления, их компоненты вдоль оси х равны

отсюда заключаем, что жидкость движется быстрее на передней по вращению стороне трубы. Тогда, согласно теореме Бернулли в приведенной выше форме, для давления во вращающейся трубе имеем

причем влияние силы тяжести не учитывается. Как и ожидалось интуитивно, давление больше на той стороне, вдоль которой жидкость движется медленнее, и к трубе нужно приложить крутящий момент, чтобы поддерживать ее вращение и сообщать потоку жидкости момент количества движения относительно оси Если вращающаяся труба имеет круглое сечение радиуса а, то крутящий момент, который должен быть приложен к прямому участку трубы длиной , чтобы сохранить ее вращение, легко определяется из выражения (6.3.22) и равен

Оба конца вращающейся трубы могут быть открыты в атмосферу, где давление равно Если длина трубы велика по сравнению с ее радиусом, то средняя скорость, с которой жидкость выбрасывается из двух ее открытых концов в направлении оси вращающейся трубы, определяется формулой

где величину полную энергию на единицу массы воды, подаваемой по вертикальной трубе — можно считать заданной. Даже если жидкость подается из резервуара, где ее скорость очень мала, а давление меньше (не считая перепада давлений, обусловленного силой тяжести), так что жидкость еще можно откачивать из резервуара с помощью такого устройства.

В этом состоит принцип действия центробежного насоса.

Если участки вращающейся трубы вблизи двух открытых ее концов слегка отклонены от оси вращения, то реакция вытекающих струй может быть использована, чтобы заставить трубу вращаться подобно водяной форсунке или «огненному колесу» фейерверка. В простом случае, изображенном на рис. 6.3.6, б, две струи вытекают под углом к оси х со средней скоростью (относительно вращающихся осей), и момент силы относительно оси вращения, действующей на колено трубы, приближенно равен величине умноженной на массу жидкости вытекающей из трубы в одну секунду. Приравнивая этот момент моменту, требуемому для поддержания вращения трубы с угловой скоростью

находим, что

Следовательно, скорость вытекающей жидкости относительно неподвижной системы координат направлена строго по радиусу, что и следовало ожидать при отсутствии приложенного к ней момента. Тогда из (6.3.23) следует

Проекция скорости вытекающей жидкости на направление прямой, проходящей через ось вращения, равна

полученное выражение показывает (это можно было ожидать и по другим соображениям), что площадь участка земли, который можно полить водой из такой форсунки, не зависит от 0.

Упражнение

(см. скан)

Цилиндрический столб жидкости длиной I и плотности движется в направлении, параллельном образующим, и ударяется о твердую стенку с достаточно большой скоростью, чтобы заставить материал стенки вести себя локально как жидкость с плотностью Покажите, что глубина проникновения струи в стенку приближенно равна