4.12. Изменения в обтекании тел при возрастании числа Рейнольдса от 1 до 100

В § 4.7 мы видели, что когда твердое тело данной формы совершает установившееся поступательное движение со скоростью в безграничной и ничем больше не возмущенной жидкости, то все безразмерные величины, описывающие поле течения, зависят только от числа Рейнольдса а не от плотности характерной длины тела скорости и вязкости в отдельности. Иначе говоря, величина числа Рейнольдса характеризует поле течения, если только заданы форма тела и его положение относительно направления движения. Одна из наиболее важных задач механики жидкости состоит в определении во всем диапазоне значений числа Рейнольдса, и в особенности при больших его значениях, свойств течения, создаваемого телами простой формы обычного размера, движущимися в воздухе или в воде, которые имеют малый коэффициент кинематической вязкости.

Описание течения при очень малых числах Рейнольдса было дано для сферы и кругового цилиндра (§ 4.9 и 4.10), и теперь мы кратко опишем изменения, которые происходят в этих течениях по мере того, как число Рейнольдса возрастает. Анализ этих двух параграфов основывался на предположении, что при силы инерции в большей части поля течения пренебрежимо малы по сравнению с силами вязкости. Принимая во внимание интерпретацию числа Рейнольдса как меры отношения этих двух сил, мы можем ожидать, что при будет справедливо обратное утверждение и что силами вязкости в некотором смысле можно пренебречь; это приближение представляет собой тему исследований следующей главы. В промежуточном диапазоне, в котором ни одно из этих приближений не справедливо, а именно в диапазоне, который весьма грубо можно оценить пределами аналитические исследования наталкиваются на большие трудности, и наши знания о течении были получены главным образом путем наблюдений и частично с помощью численного интегрирования полного уравнения движения.

При числах Рейнольдса, малых по сравнению с единицей, доминирующим процессом является диффузия завихренности вдаль от тела. Жидкость, находящаяся в непосредственном контакте с телом, движется с его скоростью, и это приводит к образованию завихренности. Смысл приближения Стокса (§ 4.9) заключается в том, что влияние движения тела ограничивается образованием этой завихренности и что она диффундирует во всех направлениях от тела по существу как от неподвижного источника. Это приводит к потоку с продольной симметрией на больших расстояниях от тела (а также и вблизи тела, если его поверхность имеет такую же симметрию). Усовершенствованное приближение

Озеена (§ 4.10) частично учитывает силы инерции, и завихренность в этом случае диффундирует от равномерно движущегося источника. Завихренность диффундирует на условное расстояние I от источника за время порядка (для целей этого качественного рассуждения мы не делаем различия между скалярными и векторными величинами, подвергающимися влиянию молекулярной диффузии), и в течение этого времени тело продвигается вперед на расстояние Если величина I имеет порядок размера тела и если то процесс диффузии доминирует и распределение завихренности приближенно имеет продольную симметрию вблизи тела в пределах, допускаемых формой тела. С другой стороны, если же то движущееся тело оставляет за собой завихренность в области, форма которой приближается к параболической (с телом в фокусе этой параболы) по мере увеличения расстояния от тела вниз по потоку. Таким образом, для когда справедливы приближения Стокса и Озеена, течение вблизи тела с продольной симметрией обладает такой же симметрией, но при удалении от тела становится отчетливо асимметричным.

Это рассуждение показывает, что при больших значениях числа Рейнольдса асимметрия выражается более сильно, и она должна оказывать влияние на течение вблизи тела (это не может быть описано в приближении Озеена). Наблюдения подтверждают сказанное и показывают интересные формы, принимаемые течением, особенно в кормовой части тела, где концентрируется завихренность. Ряд полей течения, соответствующих различным значениям числа Рейнольдса будет описан сначала на примере движущегося кругового цилиндра, который более удобен для наблюдения линий тока, чем сфера. В условиях, когда основное внимание обращается на окрестность самого тела, характер течения оценить легче, если рассматривать движение относительно тела; тогда поле течения можно назвать обтеканием тела, а не течением, создаваемым движущимся телом. Жидкость на бесконечности имеет постоянную скорость направленную слева направо.

На фото 4.12.1 показаны короткие отрезки пути (хотя фотопластинка экспонировалась с большой выдержкой), проходимые малыми твердыми частицами в жидкости, движущейся около кругового цилиндра диаметром 2а, при различных значениях числа Течение относительно цилиндра установившееся, поэтому эти отрезки пути частицы представляют собой участки линий тока и можно видеть форму всех связанных с этим течением линий тока, за исключением, быть может, области, в которой скорость жидкости и проходимые частицами расстояния малы. При продольная асимметрия почти неразличима, но она хорошо заметна при При сразу за цилиндром наблюдается область медленно циркулирующей жидкости; при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса эта

Рис. 4.12.2. Линии тока (вверху) и линии постоянной завихренности (внизу) для обтекания кругового цилиндра при числе Рейнольдса (расчет Келлера и Таками (1966))

область становится длиннее и внутри нее возникает более интенсивная вполне определенная форма движения. Детали течения сразу за цилиндром не полностью ясны из этих фотографий, однако численное интегрирование полного уравнения движения показывает, что линии тока там замкнуты и существуют в виде двух групп, расположенных симметрично, причем каждая группа содержит «стационарный вихрь» с таким направлением циркуляции, которое согласуется с линиями тока обтекания цилиндра.

Несколько численных расчетов обтекания кругового цилиндра выполнили Том (1933) для Кавагути (1953) для Апельт (1961) для и Коллер и Таками (1966) для . Все эти авторы пользовались конечно-разностным приближением полных уравнений движения, которые в случае двумерного течения, подобного рассматриваемому, можно свести к одному дифференциальному уравнению относительно функции тока в качестве зависимой переменной. Расчет становится весьма трудным при возрастании числа Рейнольдса, однако соответствие между этими расчетными и наблюдаемыми картинами течения удовлетворительное, в чем можно убедиться, сравнивая расчетные линии тока при числах Рейнольдса приведенные на рис. 4.12.2 и 4.12.3, с линиями тока, наблюдаемыми при числах Рейнольдса

Рис. 4.12.3. Линии тока (вверху) и линии постоянной завихренности (внизу) для обтекания кругового цилиндра при (расчет Апельта (1961)).

(фото 4.12.1). На рис. 4.12.4 расчетное распределение давлений по поверхности цилиндра при сравнивается с измеренным Томом (1933) при Следует заметить, что минимум давления появляется на боковой стороне цилиндра, как можно было бы ожидать исходя из теоремы Бернулли для невязкой жидкости (из рис. 4.12.3 видно, что там скорость максимальна), в то время как при этот минимум расположен в кормовой критической точке (см. (4.10.9)). Кроме того, на рис. 4.12.2 и 4.12.3 приведены расчетные линии постоянной завихренности со для Видно, что при возрастании числа Рейнольдса усиливается перенос завихренности вниз по потоку, где она продолжает диффундировать по мере удаления от тела.

По-видимому, существует вполне определенное число Рейнольдса, при котором за цилиндром появляются замкнутые линии тока Танеда (1956а) измерил длину стационарных вихрей

(кликните для просмотра скана)

исходя из ряда фотографий линий тока, подобных приведенным на фото 4.12.1, и его результаты на рис. 4.12.5 свидетельствуют, что вихри впервые появляются вблизи значения Не так легко дать прямое объяснение явлению образования стационарных вихрей, несмотря на известный факт, что эти вихри имеются при обтекании большинства тел, вне зависимости от того, двумерное это течение или трехмерное (за исключением тонких тел, поперечные размеры которых малы по сравнению с их продольными размерами), при всех числах Рейнольдса выше некоторого значения порядка которое зависит от формы тела. Упрощая суть вопроса, можно сказать, что по мере того как число Рейнольдса возрастает и перенос завихренности становится более эффективным, чем ее диффузия, все большее и большее количество завихренности переносится в направлении к кормовой части цилиндра, причем завихренность имеет отрицательный знак (направление вращения по часовой стрелке) вблизи верхней части поверхности цилиндра и положительный знак вблизи ее нижней части. В конце концов на кормовой части цилиндра скапливается завихренности каждого знака больше, чем это нужно там для удовлетворения условию прилипания, и тогда вблизи поверхности индуцируется обратное течение. Обратное течение направлено навстречу движению основного потока и отклоняет его от кормовой части цилиндра, что в свою очередь приводит к усилению вращательного движения в стационарном вихре.

Для значений числа Рейнольдса от 30 до 40 установившееся течение, по-видимому, становится неустойчивым по отношению к малым возмущениям. Это явление, которое, как уже отмечалось, затрагивает почти все установившиеся течения, когда число Рейнольдса становится достаточно большим (и диссипативное влияние вязкости оказывается сравнительно слабым). В данном случае неустойчивость сначала возникает в следе на некотором расстоянии за цилиндром и приводит к медленным колебаниям следа, приближенно синусоидальным как по времени, так и по координате в направлении потока, с амплитудой, возрастающей с расстоянием вниз по потоку.

На фото 4.12.6 эти колебания видны по линиям частиц, отмеченных краской, которые испускаются с цилиндра и сносятся в след. Когда число Рейнольдса становится выше критического значения, при котором впервые проявляется неустойчивость, колебания следа приближаются к цилиндру, и при числе Рейнольдса, равном приблизительно 60, непосредственно за цилиндром возникают два стационарных вихря. Они одновременно совершают колебания в поперечном направлении и, по-видимому, в конце каждого полупериода сбрасывают в поток часть вращающейся жидкости попеременно с каждой стороны цилиндра. Поведение следа на этой стадии, как показывают последние три

фотографии, представляется весьма интересным. Большая часть жидкости, подходящей близко к цилиндру, по-видимому, скапливается в виде дискретных комков, располагающихся двумя регулярными колеблющимися рядами по каждую сторону от прямой, проходящей через ось цилиндра вниз по потоку.

Другие наблюдения показывают, что большая часть завихренности следа вне всякого сомнения сконцентрирована в этих комках, причем все они в каждом ряду имеют завихренность одинакового знака. Эта регулярная расположенная в определенном порядке система дискретных завихренных элементов жидкости (неточно называемых «вихрями», причем вся система расположенных в определенном порядке вихрей называется «вихревой дорожкой») движется вниз по потоку со скоростью меньшей и эта система продолжает существовать значительно дальше вниз по потоку, чем показано на фото 4.12.6, хотя с медленным увеличением расстояний между двумя рядами и между соседними вихрями. Два вихря непосредственно за цилиндром становятся слабо различимыми при числах Рейнольдса, больших 100, хотя вихревая дорожка продолжает формироваться в следе вплоть до значительно больших чисел Рейнольдса.

Все эти изменения в картине течения по мере возрастания числа Рейнольдса сопровождаются изменениями в полной силе сопротивления действующей на цилиндр. На рис. 4.12.7 представлены обширные данные измерений коэффициента сопротивления в зависимости от числа Рейнольдса, полученные Триттоном (1959), а также теоретическая зависимость Озеена (4.10.16) и имеющиеся в литературе численные результаты. Анализ отдельных слагаемых коэффициента сопротивления С а именно слагаемого от сил нормального давления (определяемого по измерениям среднего по времени давления на поверхности цилиндра (Том (1929)) или расчетным путем) и слагаемого от касательных сил вязкости или сил поверхностного трения (определяемых как разность между измеренными полной силой сопротивления и результирующей нормальных сил), показывает, что первое представляет собой возрастающую функцию числа Рейнольдса в диапазоне приблизительно от 50 до 110. Такое аномальное явление предположительно связано с возрастанием колебаний двух стационарных вихрей за цилиндром. Известно, что эти колебания сопровождаются также значительной боковой силой (средняя по времени величина которой равна нулю), направленной по нормали к скорости основного потока и к оси цилиндра.

Аналогичная последовательность изменений по мере возрастания числа Рейнольдса от значений его вблизи единицы происходит при обтекании большинства других тел. На фото 4.12.8 приведены фотографии линий тока обтекания сферы, расположенных в плоскости, проходящей через центр сферы в направлении течения

Рис. 4.12.7. Коэффициент сопротивления цилиндра радиуса

Рис. 4.12.9. Наблюдаемые размеры области замкнутых линий тока за сферой (Танеда (19566)).

(как и раньше, где — диаметр сферы). Область замкнутых линий тока за сферой, которая образуется, согласно рис. 4.12.9, приблизительно при в данном случае содержит стационарный кольцевой вихрь, направление циркуляции которого снова устанавливается таким, чтобы создать поток того же направления, какое имеет внешнее течение на их общей границе. Здесь также существует неустойчивость течения выше критического значения числа Рейнольдса, возможно берущая аачало в следе, и Танеда (19566) обнаружил, что кольцевой вихрь впервые начинает совершать слабые колебания при числе Рейнольдса, приблизительно равном 130. При более высоких числах

Рейнольдса кольцевой вихрь за сферой колеблется с большей амплитудой, и некоторая часть жидкости в области замкнутых линий тока вырывается из нее и сносится вниз по потоку. Никакого регулярного движения, подобного вихревой дорожке по-видимому, в следе за сферой не формируется (как и за любым другим трехмерным телом), хотя создается впечатление, что от стационарного кольцевого вихря завихренность отходит непрерывным рядом искаженных вихревых петель, несимметричных относительно центральной оси. Закон, по которому сопротивление сферы изменяется в зависимости от числа Рейнольдса, был представлен ранее на рис. 4.9.2.

Еще одно свидетельство появления картин потока указанных выше видов для тел почти всех форм дают фотографии линий тока установившегося обтекания тонкой пластины прямоугольной формы длины I и очень большой ширины (в направлении нормали к плоскости снимка), поставленной нормально к потоку (см. фото 4.12.10). В качестве примера тонких тел необычного вида, установленных в направлении потока, в кормовой части которых не образуются стоячие вихри, те же самые фотографии показывают линии тока при значении в случае тонкой пластины длины помещенной по потоку. По мере дальнейшего возрастания числа Рейнольдса до величины порядка форма линий тока этого последнего течения весьма мало изменяется. Изменение сводится к постепенному уменьшению толщины заторможенного слоя жидкости, который можно видеть вблизи пластины на фото 4.12.10, и пластина вызывает все меньшее и меньшее видимое возмущение в однородном потоке жидкости. Между прочим, можно отметить, что тонкая пластина, расположенная кромкой навстречу потоку, представляет собой тело, продольные и поперечные размеры которого весьма разнятся по величине, и что соответствующие числа Рейнольдса, взятые по этим размерам, могут приводить к различным оценкам картины течения; в таком случае выбору числа Рейнольдса придается особое значение. Поскольку мы рассматриваем продольную асимметрию течения, число Рейнольдса, базирующееся на длине пластины, имеет большее значение, так как эта длина характерна для течения в целом. Когда же изучаются определенные локальные свойства течения, такие, например, как распределение давления вблизи входной кромки пластины, большее значение может иметь число Рейнольдса, взятое по толщине пластины.

Упражнения к главе 4

(см. скан)

(см. скан)