3.2. Уравнение движения для жидкости

«Уравнение движения» для жидкости в наиболее фундаментальном виде представляет собой равенство скорости изменения количества движения выбранной части жидкости и суммы всех сил, действующих на эту часть жидкости. Для жидкого объема ограниченного жидкой поверхностью количество движения определяется интегралом и скорость его изменения, согласно соотношению (3.1.12), равна

т. е. просто сумме произведений масс на ускорения всех элементов жидкого объема

Как уже объяснялось в § 1.3, на часть жидкости действуют в общем случае как объемные, так и поверхностные силы. Обозначим результирующий вектор объемных сил на единицу массы жидкости через так что полная объемная сила, действующая на выбранную часть жидкости, равна

компоненту поверхностной или контактной силы, приложенной к элементу поверхности с площадью и нормалью можно представить как где тензор напряжений, введенный в § 1.3; следовательно, полная поверхностная сила, приложенная к выбранной части жидкости со стороны окружающей ее среды, определяется интегралом

Таким образом, уравнение количества движения для выбранной части жидкости выражается в виде

где все три интеграла берутся по жидкому объему

Уравнение (3.2.1) справедливо при любом выборе жидкого объема если подинтегральные выражения являются непрерывными функциями х, то это возможно только тогда, когда равенство

выполняется во всех точках жидкости. Полученное дифференциальное уравнение, выражающее ускорение жидкости через локальную объемную силу и тензор напряжений, обычно называется «уравнением движения». Оно принадлежит классу уравнений сохранения, представляемых уравнением (3.1.14), в котором объемные и поверхностные силы приводят к росту количества движения на единицу объема со скоростью, определяемой правой частью уравнения (3.2.2). Поверхностные силы оказывают влияние на ускорение жидкости только в том случае, когда тензор напряжений изменяется в жидкости от точки к точке или, более точно, когда величина имеет ненулевую дивергенцию по второму индексу, определяющему направление элемента поверхности; если то влияние поверхностных сил на элемент жидкости сводится к его деформации без изменения количества движения.

Уравнение (3.2.2) нельзя использовать для определения поля скорости жидкости до тех пор, пока ничего неизвестно о силе и тензоре напряжений Объемная сила, действующая на жидкость, во многих случаях возникает под влиянием гравитационного поля Земли, для которого в других случаях выражения для обычно очевидны из заданных условий. Тензор напряжений вызывает больше затруднений, поскольку он выражает действие внутренних сил в жидкости и сам подвержен влиянию движения жидкости, о чем будет говориться в следующем параграфе.