6.6. Двумерное безвихревое течение, вызванное движущимся цилиндром с циркуляцией

Одна из целей этого параграфа состоит в том, чтобы исследовать влияние на поле течения циркуляции скорости вокруг цилиндра. Мы видели в § 6.4, что один важный эффект циркуляции в сочетании с поступательным движением цилиндра сводится к появлению боковой силы, действующей на цилиндр. Будет полезно подробнее изучить одно или два таких течения частного вида, чтобы выяснить природу этой боковой силы. Начнем с обсуждения простого и фундаментального случая обтекания кругового цилиндра, поле течения вокруг которого уже было описано.

Круговой цилиндр

Мгновенное движение твердого кругового цилиндра полностью определяется скоростью его центра и угловой скоростью вращения цилиндра; вращение не оказывает влияния на невязкую жидкость и им мы пренебрежем. Мы начнем с рассмотрения формы линий тока, важность чего будет легко понять, если отнести движение к системе координат, связанной с неподвижным цилиндром; дело в том, что поверхность цилиндра при этом сама оказывается линией тока. Нам нужны потенциал скорости и функция тока, описывающие безвихревое обтекание кругового цилиндра радиуса а потоком со скоростью на достаточном удалении от цилиндра и с циркуляцией х вокруг него. Известно (см. (6.5.18)), что комплексный потенциал имеет вид

В данном случае тела с границей в виде окружности, поскольку речь идет о мгновенном движении, без потери общности задачи скорость V можно положить равной нулю, т. е. допустить, что на бесконечности движение жидкости относительно цилиндра происходит параллельно оси х. Тогда потенциал скорости и функция тока определяются формулами

где Существует однопараметрическое семейство полей течения, соответствующих различным значениям Картина линий тока для случая единственного, для которого она симметрична относительно оси х, представлена на рис. 6.6.1, а.

Рис. 6.6.1. Линии тока безвихревого обтекания кругового цилиндра потоком с постоянной скоростью на бесконечности и с циркуляцией скорости к (в направлении против часовой стрелки).

Оценим эффект изменения значения замечая, что скорость жидкости на поверхности цилиндра равна

и обращается в нуль в двух критических точках, в которых

Они расположены в передней и задней точках цилиндра, когда при увеличении отношения обе точки смещаются вниз и совпадают при когда Линии тока для показаны на рис. 6.6.1,б, а линии тока в частном случае на рис. 6.6.1, в. При значениях больших скорость отлична от нуля и направлена в сторону возрастания угла во всех точках поверхности цилиндра.

Критическая точка при этом переместилась с поверхности цилиндра вдоль линии и заняла вне его положение, определяемое одним из корней следующего уравнения (другой корень относится к критической точке внутри цилиндра):

так как на этой линии в силу симметрии. Из рис. видно, что часть жидкости совершает циркуляционное движение вокруг цилиндра и остается вблизи него.

Нет необходимости рассматривать отрицательные значения х, так как изменение знака х должно привести только к отражению линий тока относительно оси х.

Очевидно, что возрастание отношения от нуля должно вызывать все более заметное различие между областями течения на обеих сторонах оси в частности, появление больших скоростей на верхней части поверхности цилиндра и малых — на ее нижней части. Вспоминая, что в установившемся безвихревом течении величина постоянна (влияние силы тяжести не учитывается), мы видим, что большее давление получается на нижней части поверхности, что и приводит к ненулевой боковой силе, действующей на цилиндр. В этом простом случае кругового цилиндра боковую силу можно вычислить непосредственно и в явном виде. Из выражения (6.6.4) и из теоремы Бернулли следует, что при установившемся течении давление в некоторой точке на поверхности цилиндра равно

и тогда компонента по оси у силы, действующей на цилиндр (компонента по оси х из-за симметрии равна нулю), определяется интегралом

как было получено в § 6.4 для цилиндра произвольной формы. Положительный знак этой силы в направлении оси у связан с положительной (в направлении против часовой стрелки) циркуляцией и положительной компонентой скорости цилиндра вдоль оси х относительно жидкости на бесконечности. Запоминание знаков иногда облегчается наблюдением, что подрезанный мяч при игре в теннис или в гольф стремится подняться выше, хотя

на самом деле эти явления не связаны тесно друг с другом; в трехмерном поле течения нет аналога циклической постоянной, и подъем вращающегося мяча связан с различными положениями линий отрыва пограничного слоя на его верхней и нижней поверхностях и возникающим в результате этого различием в распределении скорости и давления на этих поверхностях. Лучший метод запоминания направления действия боковой силы состоит в том, чтобы представить спектр линий тока обтекания цилиндра и учесть, что боковая сила действует в сторону больших скоростей, на которой скорости от циркуляции и от однородного потока суммируются (см. также рис. 6.4.1).

Тот факт, что при скорость жидкости всюду на поверхности цилиндра имеет одинаковое окружное направление, указывает на возможность получения такого же распределения скорости безвихревого течения в установившемся течении реальной жидкости при больших числах Рейнольдса. Если твердый цилиндр заставить вращаться с угловой скоростью то относительные скорости жидкости и поверхности твердого цилиндра направлены по вращению в одних местах и против — в других; в свою очередь в различных местах пограничного слоя приблизительно в одинаковых количествах возникает положительная и отрицательная завихренность, так что отрыва можно избежать. Максимальные и минимальные значения относительной скорости на поверхности цилиндра (см. (6.6.4)) при этом равны а относительная скорость в точке поверхности твердого цилиндра периодически изменяется с частотой в течение одного периода относительное смещение жидкости и твердого цилиндра составляет величину порядка и если это перемещение мало по сравнению с а (ср. результаты из § 5.9 для кругового цилиндра, движущегося из состояния покоя, а также см. § 5.13), то отрыв пограничного слоя будет подавлен. Поэтому можно ожидать, что если и если цилиндр вращается с подходящей угловой скоростью, то в реальной жидкости течение стапет всюду безвихревым, за исключением тонкого слоя на поверхности цилиндра.

Циркуляция скорости вокруг цилиндра, конечно, не является контролируемой величиной в эксперименте, однако она определяется угловой и поступательной скоростями движения цилиндра. Подходящее значение циркуляции может быть вычислено, во всяком случае в принципе, на основе предположения, что движение устанавливается в два этапа. Сначала цилиндру в покоящейся жидкости сообщается постоянная угловая скорость вращения как установлено в § 4.5, завихренность генерируется в жидкости и диффундирует в бесконечность, сохраняя установившееся безвихревое движение с циркуляцией Затем цилиндр заставляют двигаться с поступательной скоростью Если скорость

достаточно мала по сравнению с то отрыва пограничного слоя не происходит, завихренность сосредоточена в тонком пограничном слое на поверхности цилиндра и циркуляция остается постоянной и равной . Если же скорость не мала по сравнению с то происходит отрыв и сходство с картиной безвихревого течения теряется.

При некоторых значениях отношения порядка единицы вполне возможно, что отрыв не возникает, но завихренность накапливается вблизи цилиндра, диффундирует через граничную линию тока и сносится вниз по потоку, создавая циркуляцию скорости вокруг цилиндра, незначительно отличающуюся от ее величины в установившемся состоянии 1). На фото 6.6.2 приведены некоторые картины линий тока реального течения, создаваемого вращающимся с угловой скоростью цилиндром в потоке постоянной скорости для нескольких значений отношения циркуляция в каждом случае неизвестна, но оказывается, что, когда получается качественное соответствие с полями течений, изображенными на рис. 6.6.1, вид, хотя при этом теоретическое значение циркуляции х, используемой на рис. 6.6.1, не равно

Из фото 6.6.2 видно, что скорость жидкости на верхней стороне цилиндра вообще выше, а давление соответственно ниже, чем на его нижней стороне, всякий раз, когда имеется заметная угловая скорость цилиндра, независимо от того, достаточно ли она велика, чтобы предотвратить отрыв пограничного слоя и образование больших областей ненулевой завихренности. Существование боковой силы, действующей на круговой цилиндр, который вращается и одновременно движется вперед, а также и на сферу, обычно называется эффектом Магнуса, по имени исследователя, который провел первые относящиеся к этому явлению лабораторные эксперименты (Магнус (1853)).