Сферическая капля в другой жидкости

В ряде случаев, представляющих практический интерес, сфера, поступательно движущаяся при малых числах Рейнольдса, сама состоит из жидкости, в которой в свою очередь может возникать движение, и желательно выяснить, какое влияние оказывает эта внутренняя циркуляция на силу сопротивления (Ада-мар (1911)). Будем считать, что эти две жидкости не смешиваются и что поверхностное натяжение на поверхности раздела достаточно велико, чтобы сохранить сферическую форму капли при любом деформационном влиянии сил вязкости. Это последнее условие состоит в том, чтобы отношение коэффициент поверхностного натяжения) было большим по сравнению с нормальным напряжением порядка вызываемым движением, т. е. чтобы было

в конце этого параграфа мы еще раз обратимся к этому требованию. Кроме того, примем, что число Рейнольдса для движения внутри капли мало по сравнению с единицей, как и число Рейнольдса для движения вне капли.

Необходимые изменения в рассуждениях, использованных для нахождения полей скорости и давления в случае твердой сферы, можно произвести без особого труда. Движения как внутри, так и вне сферы осесимметричны и удовлетворяют уравнениям (4.9.1) и (4.9.2) (хотя и с разными значениями коэффициентов вязкости). Вектор скорости и и разность давлений вне сферы, как и раньше, должны обращаться в нуль на бесконечности, а (черточка указывает на величину, связанную с жидкостью внутри сферы и с ее движением) конечны везде в области

определения. Обычное кинематическое условие на поверхности раздела имеет вид

Вместо условия прилипания на поверхности твердой сферы теперь выставляются определенные динамические условия сращивания. На поверхности раздела не может возникать относительного движения двух жидкостей, и касательное напряжение, развиваемое на поверхности раздела внешней частью жидкости, должно быть равно по величине и противоположно по знаку напряжению, развиваемому внутренней жидкостью Из рассмотрения нормального напряжения на поверхности раздела нельзя получить никаких сведений, так как ясно, что любой разрыв нормального напряжения, который невозможно исключить посредством соответствующего выбора компенсируется поверхностным натяжением, возникающим при небольшой деформации поверхности раздела. Таким образом,

Уравнения и граничные условия линейны и однородны относительно так что все соотношения от (4.9.4) до (4.9.10) остаются справедливыми и дополняются аналогичными соотношениями для внутреннего движения. Давление как и удовлетворяет уравнению Лапласа, и соответствующее решение аналогично решению (4.9.4), т. е.

Функция тока и скорость внутри сферы имеют вид (4.9.6) и (4.9.7), а завихренность внутри сферы

и, следовательно, правая часть дифференциального уравнения относительно аналогичного уравнению (4.9.8), равна Тогда

Необходимость избежать особенность при и кинематическое условие при требуют, чтобы было

Таким образом, скорость внутри сферы

Остается определить из динамических условий сращивания. Из условия (4.9.24)

Касательная компонента зависит только от члена со скоростью в общем выражении (4.9.15) для напряжения на поверхности раздела; сращивая соответствующие касательные компоненты, получим

Из написанных условий находим

Результирующая сила, действующая на поверхность раздела со стороны внешней части жидкости, определяется путем интегрирования силы (4.9.16), действующей на единицу площади, по поверхности раздела А:

Следовательно, предельная скорость V жидкой сферы с плотностью и коэффициентом вязкости движущейся свободно под действием силы тяжести, равна

Случай твердой сферы получается, если положить Случай сферического пузырька газа, движущегося в жидкости, соответствует (приближенно) другому предельному значению и одновременно Поэтому скорость сферического газового пузырька, равномерно всплывающего под влиянием выталкивающей силы, будет равна Однако наблюдения предельной скорости V очень маленьких пузырьков газа

Рис. 4.9.3. Сравнение теоретических (слева) и наблюдаемых (справа) картин линий тока в сферической капле глицерина, падающей в касторовом масле (Спеллс (1952)),

показывают, что сила сопротивления часто ближе к значению чем к ожидаемому значению это объясняют тем, что любые поверхностно активные примеси, имеющиеся в жидкости, вероятно, образуют на поверхности пузырька жесткие структуры больших молекул и заставляют поверхность раздела действовать отчасти как твердая поверхность

Были проведены наблюдения общей формы течения внутри жидких капель, падающих под влиянием силы тяжести в другой жидкости; измерение распределения скорости в них затруднительно. На рис. 4.9.3 показаны схематически линии тока, наблюдаемые в сферической жидкой капле, относительно осей координат, движущихся вместе с каплей. Теоретические линии тока, соответствующие распределению скорости (4.9.27) относительно этих же самых осей, представляют собой линии, на которых функция тока

принимает постоянные значения, и эти линии тока также показаны; соответствие между ними удовлетворительное.

Наконец, мы затронем интересный вопрос относительно нормальной компоненты напряжения на поверхности жидкой сферы, на которую не наложено никаких ограничений. Следует напомнить, что давление, входящее в уравнения в этой главе, представляет собой модифицированное давление, и чтобы получить абсолютное давление (или отличающееся от него на постоянную), нужно добавить к модифицированному давлению член для поля течения вне сферы и член для поля течения внутри нее.

Тогда разность значений нормальной компоненты абсолютного напряжения на поверхности сферы при подходе к ней с внешней и с внутренней сторон находится независимо от поверхностного натяжения из общего выражения (4.9.15):

Интересное свойство выражения (4.9.32) состоит в том, что, когда сфера равномерно движется под действием силы тяжести, причем скорость ее поступательного движения определяется по формуле (4.9.30), нормальные компоненты напряжения отличаются только на постоянную величину Следовательно, напряжения на поверхности раздела не стремятся деформировать сферу, и фактически нет необходимости предполагать, что поверхностное натяжение будет настолько сильным, чтобы сохранить каплю или пузырек в сферической форме; поверхностное натяжение входит только в соотношение (см. (1.9.2)), определяющее Если вязкости и плотности двух жидкостей таковы, что малые значения чисел Рейнольдса позволяют пренебречь силами инерции, то, очевидно, нет никакого ограничения на размер жидкой сферы. Обнаружено, что пузыри воздуха, поднимающиеся в очень вязких жидкостях, таких, как патока, имеют сферическую форму, даже если их радиус становится настолько большим, что влияние поверхностного натяжения могло бы не иметь решающего значения.