4.7. Динамическое подобие и число Рейнольдса

Движение однородной жидкости, которую можно считать несжимаемой, описывается уравнениями

где модифицированное давление. Мы предполагаем рассмотреть влияние изменения (однородных) параметров . С этой целью полезно написать эти уравнения в безразмерных переменных, чтобы отделить влияние изменений от влияния изменений только единиц измерения. В выписанных выше уравнениях нет параметров с размерностями длины и скорости, поэтому мы должны обратить внимание на граничные и начальные условия для размерных величин, с помощью которых радиус-вектор х и скорость и можно сделать безразмерными.

Предположим, что задание начальных и граничных условий для определенного течения связано с некоторой характерной длиной (которая может быть максимальным размером внутренней границы или расстоянием между внешними границами) и с некоторой характерной скоростью (в качестве которой может быть постоянная скорость твердой границы) таким путем, что эти условия можно выразить в безразмерной форме: 1) вектор — заданная функция времени при данных значениях и 2) вектор — заданная функция от х при некоторых данных значениях времени t, где

Тогда в этих новых переменных и с безразмерным давлением

где некоторое характерное значение модифицированного давления в жидкости, основные уравнения записываются в виде

где число Рейнольдса

Уравнения теперь содержат явно только безразмерный параметр и их решения относительно переменных которые удовлетворяют граничным условиям, могут зависеть только от

а) независимых переменных

б) параметра и

в) безразмерных относительных величин, необходимых для точного задания граничных и начальных условий (например, отношения двух осей эллиптического цилиндра, ограничивающего жидкость, — все эти относительные величины можно рассматривать как соотношения, определяющие геометрию граничных и начальных условий).

Этот переход к безразмерным переменным, кажущийся формальным несерьезным действием, имеет далеко идущие последствия. Во-первых, как только решение задачи для частного поля течения получено и выражено в безразмерной форме, из него путем выбора трех значений параметров при неизменном числе Рейнольдса можно получить три бесконечных семейства решений. Все эти течения, которые удовлетворяют одним и тем же начальным и граничным условиям в безразмерной форме и для которых соответствующие значения параметров отличаются друг от друга без изменения величины их комбинации описываются одним и тем же безразмерным решением; говорят, что все такие течения динамически подобны, так как величины различных членов в уравнении движения, представляющих влияние сил (вязкости, давления и инерции), действующих в данном положении, определяемом безразмерными координатами, и в данный безразмерный момент времени в жидкости, входят в виде одного и того же отношения для всех таких течений.

Этот принцип динамического подобия широко применяется как способ получения информации относительно некоторого

неизвестного поля течения по результатам «модельных испытаний», т. е. экспериментов, проведенных при более удобных физических условиях по сравнению с условиями этого неизвестного поля течения. Так, например, инженеры-гидравлики и химики часто хотят предсказать скорость, с которой малые твердые частицы оседают в водной суспензии, и для начала им нужно знать предельную скорость падающей в воде изолированной малой частицы известного размера и плотности и упрощенной сферической — формы. Непосредственное измерение скорости падения одной частицы затруднительно, так как очень малый размер, например, частиц ила, создает трудности обращения с ними и их наблюдения. Тогда можно использовать динамическое подобие и утверждать, что если течение около падающей сферической частицы представить в безразмерных величинах, отнесенных к скорости сферы и ее диаметру то оно будет таким же, как и течение около значительно большей сферы, движущейся с такой скоростью и в такой жидкости, что отношение принимает одинаковое значение в обоих случаях. Отношение для смазочного масла приблизительно в 400 раз больше, чем для воды, а для глицерина оно приблизительно в 680 раз больше, чем для воды; таким образом, динамически подобное поле течения может быть получено в одной из этих жидкостей со сферой большего и более подходящего размера, а силу торможения или «сопротивления» D сферы, создаваемую жидкостью, можно наблюдать для ряда значений параметров Выражение для силы сопротивления

где единичный вектор определяет направление движения сферы, интегрирование выполняется по площади А сферы и непосредственно показывает, что безразмерный «коэффициент сопротивления» один и тот же для всех динамически подобных полей течения, соответствующих заданному значению числа Рейнольдса Поэтому модельные испытания позволяют получить величину искомого коэффициента сопротивления, если диапазон значений числа Рейнольдса при испытаниях содержит то значение, которое соответствует оседанию частицы ила. Затем можно вычислить предельную скорость этой частицы, зная ее размер и плотность.

Во-вторых, уравнения (4.7.3) и (4.7.4) в безразмерных переменных показывают, что для данной геометрической формы границы и данных начальных условий не существует больше одного бесконечного семейства различных решений в

безразмерной форме, причем разные элементы семейства соответствуют разным значениям числа Рейнольдса. Другими словами, при данных граничных и начальных условиях влияние на поле течения изменения параметров или или изменения нескольких из них одновременно может быть однозначно описано путем последовательного изменения одного только числа Рейнольдса. Тот факт, что число представляет собой параметр, который определяет поля течения для границ данной формы, был впервые установлен Стоксом (1851), однако после работы Рейнольдса (1883) о начале зарождения турбулентности при течении в трубах это число было названо числом Рейнольдса.

Выражение (4.7.5) для силы сопротивления, действующей на движущееся тело, может быть представлено в общей форме

которая справедлива для семейства полей течения с геометрически подобными граничными и начальными условиями. Все другие безразмерные параметры течения тоже оказываются функциями только одного числа Рейнольдса. Практические задачи в динамике вязкой жидкости часто сводятся к теоретическому или экспериментальному определению вида соответствующей неизвестной функции от числа в некотором интервале его значений.

Число Рейнольдса можно рассматривать также как некоторую оценку относительной важности сил вязкости и не связанных с влиянием вязкости сил, действующих на единицу объема жидкости. Уравнение движения (4.7.1) содержит в правой части силу давления и силу вязкости а сумма двух этих сил со знаком минус равна так называемой силе инерции Эти силы находятся в равновесии, и соотношение между ними можно определить с помощью отношения любых двух сил из трех. Так как сила давления обычно играет пассивную роль, причем она возникает в жидкости в результате движений твердой границы или существования в жидкости касательных напряжений (хотя это и не так для течений, вызванных градиентом давления, таких, например, как течение Пуазейля), то общепринято характеризовать течение отношением величин силы инерции и силы вязкости. В любой точке жидкости это отношение равно

Таким образом, если каждая из производных представляет собой величину порядка единицы, что, по-видимому, так, когда поле течения достаточно простое, действительно являются его характерными параметрами (хотя в жидкости

обычно будут встречаться специальные места, где эти безразмерные параметры весьма малы), то число Рейнольдса служит мерой относительной величины сил инерции и сил вязкости. Для заданных начальных и граничных условий изменение числа Рейнольдса вообще соответствует изменению относительной величины сил инерции и вязкости; правда, такое утверждение тоже не вполне точно, так как производные сами зависят от числа Рейнольдса и мы должны предположить, что они остаются величинами порядка единицы. В частности, уменьшение числа Рейнольдса до величин сводится к тому, что силы инерции становятся значительно меньше сил вязкости, поэтому силы давления и вязкости доминируют в поле течения; условие означает, что, наоборот, силы инерции намного превосходят силы вязкости и они вместе с силами давления преобладают. При значениях числа Рейнольдса порядка единицы все три силы предположительно играют одинаково важную роль в уравнении движения.

Ни для одного из исследованных в этой главе течений эти общие замечания о динамическом подобии не имеют существенного значения, так как все эти течения особенно просты в том или ином отношении (и в действительности они были выбраны именно по этой причине). В некоторых из этих течений (например создаваемом движением одной плоской границы из состояния покоя) для определения граничных условий нужна только скорость, а не длина, поэтому число Рейнольдса не входит в задачу; в случае же струи, исследованной в § 4.6, эффективное число Рейнольдса можно было построить на основе параметров, взятых из граничных условий, однако здесь также нет никакой характерной длины, с помощью которой координаты можно сделать безразмерными. В случае установившегося течения одного направления сила инерции всюду в потоке тождественно равна нулю, поэтому не существует никакой возможности нарушить равновесие сил посредством изменения какого-либо граничного параметра; не имеется такой возможности и в случаях неустановившегося движения одного направления, создаваемого движущимися границами, так как силы давления всюду в потоке равны нулю. Только в случае движения, возникающего из состояния покоя в результате внезапного движения плоской границы со скоростью если жидкость находится между этой границей и другой неподвижной плоскостью, расположенной на расстоянии d от нее, распределение скорости (см. (4.3.14)) имеет выражение

содержащее число Это выражение имеет общую форму, ожидаемую для случая, в котором задание граничных условий обеспечивается только одной длиной и только одной скоростью. Как уже отмечалось, силы давления в этом течении всюду равны нулю, так что силы инерции и силы вязкости всюду имеют одинаковую величину независимо от значения . В этих условиях изменение числа Рейнольдса по своему влиянию полностью эквивалентно изменению масштаба времени, причем большим числам соответствует более медленное приближение к конечному установившемуся состоянию.