Двумерное обтекание пластины с каверной под давлением окружающей среды

Можно снова рассмотреть целый ряд течений, однако с целью иллюстрации общего метода мы изучим подробно только простой случай пластины, установленной по нормали к потоку бесконечной протяженности. Будем считать, что давление в каверне, которое в теории безвихревого течения может быть выбрано произвольно, равно давлению в невозмущенном потоке При этом скорость жидкости на свободных линиях тока, ограничивающих каверну, равна постоянной скорости течения далеко перед пластиной. Воспользуемся снова определением (6.13.2) и примем на центральной линии тока, которая разделяется в критической точке О (в которой зададим на две свободные линии тока.

Соответствие между различными точками на линии тока в плоскостях и показано на рис. 6.13.2. Область течения занимает всю плоскость с разрезом вдоль положительной части действительной оси. Как и раньше, необходимо отыскать преобразования, отображающие области течения как из плоскости так и из плоскости на верхнюю полуплоскость плоскости Я. Полубесконечная полоса в плоскости имеет те же ширину, положение и ориентацию, что и выше, на рис. 6.13.1, поэтому функция

опять дает подходящую связь между причем положения точек на плоскости по-прежнему определяются значениями Связь между и можно отыскать, заметив сначала, что область течения занимает верхнюю половину плоскости (см. рис. 6.13.2) и что затем необходимо выполнить инверсию и изменить знак, чтобы добиться совпадения соответствующих точек на двух действительных осях; таким образом,

где k — постоянная, подлежащая определению путем установления соответствия между положениями точки В в двух плоскостях.

Итак, искомая связь между и имеет вид

Отсюда

причем отрицательный корень можно отбросить, так как в точке О, где Интегрирование дифференциального

Рис. 6.13.2. Конформные преобразования, используемые для определения обтекания плоской пластины с каверной под давлением окружающей среды.

уравнения (6.13.11) дает

где постоянная, которая должна быть равна нулю, чтобы при было Теперь мы можем определить постоянную к, учитывая, что в точке В, где

в результате

где ширина пластины.

Теперь может быть определена форма свободных линий тока. Поскольку в точке В, то на свободной линии тока

имеем

где расстояние вдоль свободной линии тока, отсчитываемое от точки В. Действительная и мнимая части функции (6.13.12) при подстановке из (6.13.14) дают параметрическое уравнение свободной линии тока

где к определено формулой (6.13.13). Каверна простирается вниз по потоку на бесконечность, и ее граница асимптотически приближается к параболе

Если бы каверна имела конечную длину, то на основании известного свойства установившегося безвихревого течения (§ 6.4) сила сопротивления, действующая со стороны жидкости на тело вместе с каверной, была бы равна нулю и, следовательно, была бы равна нулю и сила сопротивления, действующая на тело. Однако это свойство в данном случае неприменимо и сила сопротивления, очевидно, отлична от нуля, так как скорость жидкости на передней стороне пластины везде меньше Результирующая сила давления на пластину действует в направлении потока и имеет величину

где давление на бесконечности и в каверне. Производная равна мнимой части от а на отрезке потенциал есть отсюда с учетом (6.13.11) и (6.13.13) следует, что

Таким образом, коэффициент сопротивления равен

Наблюдения показывают, что если прямоугольная пластина с одной из сторон значительно больше другой (это необходимо

для приближения потока к двумерному), расположена нормально к потоку при большом числе Рейнольдса, то при отсутствии каверны коэффициент сопротивления равен приблизительно двум, т. е. больше чем в два раза превосходит расчетный.

Причины того, что теория свободных линий тока в этом случае неприменима, в общих чертах уже излагались; точнее говоря, увеличение коэффициента лобового сопротивления течения без каверны происходит вследствие появления значительного разрежения (по отношению к давлению окружающей среды) в следе сразу за пластиной.

Двумерное течение за плоской пластиной шириной которая наклонена под произвольным углом а к потоку и за которой имеется каверна с давлением окружающей среды, можно рассчитать почти тем же способом (Рэлей (1876)). Установлено, что свободные линии тока на границах такой каверны асимптотически приближаются к параболе

а сила, действующая на пластину, равна

Эта результирующая сила направлена обязательно по нормали к пластине, что дает «подъемную» силу а по нормали к направлению невозмущенного потока.

Уравнение параболы (6.13.19) и формула (6.13.20) определяют зависимость между силой сопротивления и единственным параметром длины, входящим в уравнение параболы, к которой асимптотически стремятся границы каверны:

Общий метод определения двумерного течения за телом с криволинейной границей произвольного вида с присоединенной к нему каверной под давлением окружающей среды был разработан Леви-Чивитой (1907), и можно показать, что каверна асимптотически имеет форму параболы и что сопротивление связано с параметром асимптотической параболы той же самой зависимостью Аналогичный общий результат для осесимметричных тел и каверн математически более сложно был установлен Левинсоном Граница осесимметричной каверны с давлением окружающей

Рис. 6.13.3. Общая картина струи, ударяющей о наклонную пластину с каверной под давлением окружающей среды.

среды асимптотически стремится к поверхности

где координаты цилиндрической системы координат с началом вблизи тела, постоянная с размерностью длины, зависящая от формы и размера тела; сила сопротивления осесимметричного тела равна

С помощью использованного выше метода можно определить несколько других двумерных течений около пластины с присоединенной к ней каверной под давлением окружающей среды. Довольно общая картина течения, которая охватывается данным методом и включает в качестве специальных случаев несколько интересных течений, изображена на рис. 6.13.3. Невозмущенный поток представляет собой прямую струю постоянной скорости с параллельными свободными границами, находящимися на расстоянии от друга. Если то мы возвращаемся к наклонной пластине с присоединенной к ней каверной в безграничном потоке; если то мы получаем удар струи о наклонную плоскую стенку, к которому в § 6.3 применялась теорема количества движения, а при мы встречаемся с новым случаем наклонной пластины, глиссирующей по свободной поверхности полубесконечной массы воды (влияние силы тяжести на это течение не учитывается). В этом последнем случае струя, ограниченная свободной линией тока обычно называемая «брызговой», отбрасывается от пластины в направлении, которое зависит от величины хотя в

действительности она в конце концов снова падает на поверхность воды под действием силы тяжести, что до некоторой степени затрудняет использование теоретического решения.

Можно получить некоторое представление о форме поля течения, подобного течению, изображенному на рис. 6.13.3, в котором скорость на каждой свободной линии тока, замечая, что свободные линии тока, по-видимому, всюду выпуклы в сторону жидкости. Это следует из равенства (6.2.13) и других результатов § 6.2, показывающих, что скорость не может иметь максимума во внутренней точке жидкости; исключением может быть только максимум скорости на твердой границе в точке присоединения свободной линии тока.