Истечение из круглого отверстия в открытом сосуде

Если сосуд с водой в одной из своих стенок имеет малое отверстие, то вода вытекает из него равномерно в виде гладкой струи. В случае круглого отверстия струя становится цилиндрической на некотором весьма малом расстоянии от отверстия и остается такой до тех пор, пока она не отклонится или не ускорится под влиянием силы тяжести. Потоку жидкости через отверстие

Рис. 6.3.1. Истечение из отверстия в открытом сосуде.

соответствует медленное понижение уровня свободной поверхности воды в сосуде. Все линии тока, проходящие через отверстие, должны начинаться на свободной поверхности, где скорость пренебрежимо мала, а давление постоянно и равно атмосферному давлению (для открытого сосуда); постоянная в уравнении Бернулли имеет одно и то же значение для всех линий тока, за исключением приходящих из пограничного слоя на стенке сосуда, которым мы будем пренебрегать.

Теперь можно воспользоваться теоремой Бернулли и определить скорость в цилиндрическом сечении струи, где давление обязательно постоянно (ускорения и силы вязкости пренебрежимо малы) и равно Сравнение выражений в точке на свободной поверхности и в точке внутри струи дает

где расстояние по вертикали между этими двумя точками (рис. 6.3.1) и, следовательно,

Это как раз та скорость, которую приобрел бы каждый элемент воды в свободном падении с высоты что и можно было ожидать по энергетическим соображениям; роль, которую играет в данном случае давление жидкости, заключается в том, чтобы заставить струю вытекать в направлении, перпендикулярном стенке сосуда, не оказывая влияния на ее скорость. Формулу (6.3.4) часто называют формулой Торричелли (Торричелли получил ее задолго до работы Бернулли).

В практических задачах хотелось бы использовать полученное выражение для скорости при определении массового расхода через круглое отверстие. Тогда возникает еще одна задача, которая не может быть разрешена одной только теоремой Бернулли, — задача нахождения величины поперечного сечения струи в области, где она остается цилиндрической, а скорость воды равна

Исследование струи, вытекающей из круглого отверстия, показывает, что сближение линий тока к отверстию продолжает сохраняться на расстоянии нескольких диаметров за ним и что площадь поперечного сечения струи, если она цилиндрическая, меньше площади поперечного сечения отверстия. Коэффициент сжатия а зависит только от формы твердой границы вблизи отверстия, и из опытов установлено, что в простейшем случае круглого отверстия в тонкой плоской стенке он имеет величину Из теоремы о количестве движения мы увидим, что величина коэффициента а лежит в пределах между и 1 для всех отверстий, исключая, быть может, некоторые весьма специальные формы границ. Для некоторых простых границ и двумерного течения величина а и форма вытекающей струи могут быть подробно изучены методами, изложенными в § 6.13.

Используем теперь теорему о количестве движения. Истечение воды из отверстия сосуда сопровождается потоком количества движения в направлении оси струи (которая предполагается горизонтальной), и это указывает на существование горизонтальной силы, действующей на сосуд. Результирующая сила, приложенная к сосуду со стороны соприкасающейся с ним жидкости, развиваемая как водой на смоченной поверхности Агде имеется давление так и воздухом на остальной, несмоченной поверхности где давление принимает постоянное значение равна

где нормаль всегда направлена во внешнюю по отношению к жидкости часть пространства. Поскольку сумма представляет собой замкнутую поверхность, а интеграл от постоянной по всей замкнутой поверхности равен нулю, имеем

Вертикальная компонента вектора равна весу жидкости, содержащейся в сосуде, и здесь она нас не интересует; горизонтальная компонента определяет реакцию струи, которую мы вычислим с помощью теоремы о количестве движения.

Выберем контрольную поверхность А, состоящую из: 1) свободной поверхности воды в сосуде; 2) смоченной поверхности А сосуда; 3) поверхности, ограничивающей часть струи между отверстием и каким-либо сечением, где она стала цилиндрической; 4) этого поперечного сечения струи. На части 1), 3) и 4) контрольной поверхности действует давление так что

Рассмотрение компонент членов векторного уравнения (6.3.3) в направлении вектора к вдоль оси струи показывает, что

где площадь круглого отверстия и площадь поперечного сечения цилиндрической части струи.

В тех точках, которые расположены в той же самой горизонтальной плоскости, что и ось струи, но не вблизи отверстия, скорость воды пренебрежимо мала и давление равно Поэтому часть реакции (6.3.7), обусловленная тем, что на одной стороне сосуда имеется отверстие площади а на другой стороне, прямо противоположной, — равная ему площадь стенки, на которую действует избыточное давление, равна Другая часть этой реакции получается за счет падения давления (относительно его статической величины в жидкости на стенке сосуда в окрестности отверстия; давление падает в связи с увеличением скорости по мере того, как вода приближается к отверстию. Величина этой части реакции зависит от точной формы стенки сосуда вблизи отверстия и в общем случае не может быть определена из соображений приведенного выше характера. Из равенства (6.3.7) видно, что расчет второй части реакции по существу сводится к вычислению коэффициента сжатия а.

Для двух отверстий частного вида значение а удается получить сразу. Одно из них представляет собой длинный плавно сужающийся насадок, в котором линии тока становятся прямыми и параллельными еще до выхода из сосуда (рис. 6.3.2, а). Очевидно, что в этом случае и тогда равенство (6.3.7) показывает, что часть реакции, действующая на сосуд вследствие падения давления на стенке вблизи отверстия, имеет точно такую же величину, как и часть от неуравновешенного давления на площади части стенки, противоположной отверстию. Другой специальный случай представляет собой насадок, называемый насадком Борда, который состоит из цилиндрической трубки (с внутренней площадью поперечного сечения вдвинутой внутрь сосуда (рис. 6.3.2, б). Область, в которой скорость воды значительна, располагается вблизи входной части трубки, и давление приблизительно равно статическому давлению жидкости во всех точках стенки сосуда, за исключением трубки. Давление на трубке никак не входит в компоненту вектора в направлении оси трубки, поэтому прямое вычисление интеграла в формуле (6.3.5) дает

Рис. Истечение из круглого отверстия: а — плавно сужающийся насадок, ; б - насадок Борда, в — отверстие в плоской стенке, (эксперимент); г - насадок, для которого

Сравнение с равенством (6.3.7) показывает, что в этом случае

Для большинства других форм отверстия коэффициент а изменяется в пределах между и 1, так как отклонение давления от его статической величины в жидкости на стенке сосуда вблизи отверстия может быть только разряжением, а все остальное зависит только от геометрической формы стенки и насадка. В случае насадка необычной формы, показанного на рис. (его площадь соответствует внутреннему, более широкому концу конического насадка), относительное разрежение на смоченной стороне насадка дает добавок к величине реакции на сосуд, направленный вдоль струи, а не в противоположном направлении, как это бывает обычно, так что в данном случае из равенства (6.3.7) видно, что коэффициент а должен быть немного меньше 1/2.