2.3. Тензор момента количества движения и тензор спина.

При бесконечно малых 4-вращениях

благодаря антисимметричности величин

в качестве параметров преобразования могут быть выбраны шесть линейно независимых из них

Индексы здесь обозначают плоскость, в которой происходит вращение с параметром . Мы видим, что в формуле (3) индекс распадается на два индекса:

и находим с учетом антисимметричности :

откуда следует, что

Полную вариацию функции поля представим в виде

Для скалярного поля

для векторного поля

Подставляя значения Xknm из (11) и

    (X)

в (5), получаем тензор момента количества движения

    (12)

Из формулы (12) ясно видна связь между свойствами симметрии тензора энергии-импульса и структурой тензора момента . В случае скалярного поля второй член в (12) отсутствует и соотно шение между принимает форму, подобную той, которая имеет место в механике точки. Поэтому член

следует отождествить с собственным орбитальным моментом волнового поля. В случае однокомпонентного поля этот момент сохраняется:

Подставляя сюда (13), получаем, что тензор энергии-импульса для скалярного поля оказывается симметричным по своим индексам:

В случае многокомпонентного (векторного, спинорного) поля выражение для имеет вид (12). Второй член этого выражения

характеризует поляризационные свойства поля и, как следует из квантовой теории (см. главу II), соответствует спиновому моменту частиц, описываемых квантованным полем.

Для пространственной плотности орбитального и спинового моментов находим:

Интегрируя эти выражения по конфигурационному пространству, получаем тензоры орбитального и спинового моментов в виде

Свертывая пространственные компоненты последнего выражения с антисимметричным тензором третьего ранга получаем компоненты трехмерного (псевдо) вектора спина

    (17)

или