20.5. Условие причинности.

Необходимо обеспечить также выполнение условия причинности, в соответствии с которым какое-либо событие, происшедшее в системе, может оказать влияние на ход эволюции системы лишь в будущем и не может оказать влияния на поведение системы в прошлом, во времена, предшествовавшие данному событию. Мы должны поэтому потребовать, чтобы изменение закона взаимодействия в какой-либо пространственно-временной области могло оказать влияние на эволюцию системы лишь в последующие моменты времени.

Чтобы сформулировать условие причинности в явном виде, рассмотрим сначала случай, когда область G пространства-времени, в которой функция отлична от нуля, распадается на две отдельные подобласти такие, что все точки одной из них лежат в прошлом относительно некоторого момента времени , а все точки другой — в будущем относительно t. Функция

при этом может быть представлена в виде суммы двух функций

одна из которых отлична от нуля лишь в а вторая — лишь в

В момент времени t можно определить состояние, характеризующееся амплитудой которая по соображениям причинности не должна зависеть от взаимодействия в области и может быть поэтому представлена в виде

где — матрица рассеяния для случая, когда взаимодействие включено с интенсивностью . Конечное состояние может быть получено из Ф, с помощью оператора описывающего взаимодействие в области

Сравнивая (23) — (25) с (13), находим, что

(Знак обозначает, что все точки области расположены по времени позже всех точек области Соотношение (26) является формулировкой принципа причинности для случая

Рассмотрим, далее, два случая, которые отличаются друг от друга видом взаимодействия в области и описываются одной и той же функцией в именно

Составляя выражение убеждаемся, что оно не зависит от поведения функций g и в области так как согласно (26)

и с учетом свойства унитарности матрицы S получаем:

Таким образом, произведение действительно не зависит от поведения функции g в области . Это происходит потому, что содержащаяся в зависимость от состояния системы до момента времени t уничтожается соответствующей частью оператора

Поэтому и в более общем случае мы примем следующую формулировку условия причинности: «если имеются две функции , совпадающие при меньшем некоторого t, то произведение не должно зависеть от состояния системы при Для дальнейшего целесообразно сформулировать условие при чинности в дифференциальной форме.

Нам придется часто пользоваться понятием функциональной производной, представляющим естественное обобщение понятия частной производной. Как известно, частная производная некоторой функции переменных может быть определена как коэффициент при в сумме

представляющей дифференциал этой функции.

Пусть теперь мы имеем некоторый функционал вариация которого , определяемая как главная часть приращения , может быть представлена интегралом вида

где А явлиется функционалом и, зависящим от положения точки х в области О:

подобно тому как в сумме (27) А был функцией зависящей от индекса i. Тогда по аналогии с вышеприведенным определением частиой производной введем понятие функциональной производной функционала по и в точке определив ее соотношением

Таким же образом можно ввести и функциональные производные высших порядков, причем легко видеть, что функциональные производные обладают основными свойствами обычных производных.

Если положить

где — бесконечно малая вариация функции , отличная от нуля лишь при то матрица может быть представлена в виде

причем

Теперь видно, что выражение

не зависит от поведения функции

Переходя к вариационной производной, мы можем поэтому сформулировать условие причинности как условие независимости выражения

от поведения функции в точке х при . По соображениям ковариантности отсюда также следует, что оператор (29) не может зависеть от поведения функции и при (запись означает, что точки х и у разделены пространственно-подобным интервалом).

Условие причинности, очевидно, можно записать в виде

Соотношение (30) представляет собой наиболее удобную для дальнейшего формулировку принципа причинности в дифференциальной форме.

Мы имеем, таким образом, условия релятивистской ковариантности (21), унитарности (22) и причинности (30), которые в совокупности представляют достаточное основание для построения S-матрицы. В § 21, используя эти условия и соображения соответствия, мы изложим способ явного определения коэффициентов разложения в функциональный ряд по . Отметим еще, что к этим условиям следовало бы добавить требование положительности энергии стационарных состояний. В теории свободных полей выполнение этого требования рассматривалось особо. Однако на) данной стадии изложения мы еще не можем сформулировать это условие для теории взаимодействующих полей, так как ограничение рамками теории возмущений не позволяет рассматривать связанные состояния.