§ 38. Уравнения Швингера и Дайсона

Теперь мы обратимся к задаче получения уравнений для введенных в предыдущем параграфе полных функций Грина. Как будет показано в § 38.2, эти функции Грина достаточно просто (вообще говоря, линейно) связаны с матричными элементами S-матрицы и полностью характеризуют поведение динамической системы. С другой стороны, рассматривая однородные уравнения для «обобщенных волновых функций», соответствующие неоднородным уравнениям для полных функций Грина, мы получаем возможность рассчитать радиационные поправки к собственным значениям энергии замкнутых систем и решать иные подобные задачи (см. ниже главу VII).

Можно было бы попытаться получить такие уравнения для полных функций Грина, «раскрывая» содержание радиационных поправок. Например, поляризационный оператор фотона в спинорной электродинамике можно выразить через интеграл от произведения электронных функций Грина и вершинных частей. В свою очередь сумму радиационных поправок к вершинной части можно выразить через одночастичные функции Грина и более сложные вершинные части и т. д.

Таким путем мы получили бы бесконечную последовательность все более усложняющихся уравнений, так называемых уравнений Дайсона. Как было показано Поливановым (1955), более элегантные соотношения можно получить на другом пути — используя метод производящего функционала, введенного в § 37.2. Здесь удается

получить вполне обозримую систему уравнений в функциональных производных — так называемых уравнений Швингера, из которой в свою очередь можно получать уравнения, связывающие различные функции Грина (уравнения Дайсона).

38.1. Обобщенная теорема Вика.

Прежде чем строить уравнения для функций Грина, рассмотрим вспомогательное предложение, которое уместно назвать «обобщенной теоремой Вика», утверждающее, что вакуумное ожидание от хронологического произведения линейных операторов равно сумме вакуумгых ожиданий тех же хронологических произведений со всеми возможными спариваниями одного из этих операторов (например, А) со всеми остальными, т. е.

Обратим внимание на то, что в правой части (1) в отличие от обычной теоремы Вика (ср., например, (17.17)) не содержится выражений с числом спариваний, большим единицы.

Тем не менее, справедливость (1) непосредственно вытекает из обычной теоремы Вика. Ввиду исчезновения вакуумного ожидания нормального произведения любого отличного от нуля числа неспаренных операторов левая часть (1) равна сумме всех возможных вариантов полных взаимных спариваний внутри произведения операторов

т. е. спариваний, где спарены друг с другом все операторы. Совершенно аналогично любой из членов суммы в правой части (1), например первый, может быть представлен в виде

и равен произведению спаривания на сумму всех возможных полных спариваний операторов

Выполняя суммирование по i в правой части (1), получаем сумму всех возможных полных спариваний операторов (2). Тем самым обобщенная теорема Вика доказана.

Имея в виду, что под знаком Т-произведений в вакуумных ожиданиях, определяющих полные функции Грина, содержится также матрица S, не являющаяся линейным оператором, обобщим теорему (1) и на этот случай. Рассмотрим для этого процесс спаривания линейного оператора членом разложения матрицы рассеяния

Введем операцию спаривания линейного оператора А с лагранжианом также не являющимся линейным оператором. Выражение

естественно определить как сумму произведений со всеми возможными спариваниями оператора А с операторами, входящими в X. Например, в случае спинорной электродинамики, когда с учетом члена внешнего тока имеет вид

получаем, по определению,

Отметим в этой связи, что определенные выше полные функции Грина, которые являются суммами вкладов, соответствующих внутренним линиям диаграмм Фейнмана, естественно, содержат расходимости того же типа, что и матрица рассеяния. Для устранения этих расходимостей следовало бы с самого начала ввести в лагранжиан взаимодействия обычные контрчлены. Однако ради простоты изложения мы выведем сначала уравнения Швингера для функций Грина, исходя из лагранжиана (4), а затем произведем также и учет контрчленов.

Вернемся к спариванию (3) с линейным оператором А; мы получим сумму членов

которая благодаря симметрии (3) по отношению к переменным интеграции может быть представлена следующим образом:

Суммируя по , получаем результат спаривания оператора А с матрицей S в виде

Эту формулу можно переписать в другом виде, если использовать понятие вариационной производной S-матрицы но операторной функции поля.

Такие производные можно ввести, определив их как пределы соответствующих функциональных производных по аддитивным классическим добавкам к квантовым и

при , т. е.

Для того, чтобы полученные таким путем вариационные производные по ферми-полям обладали надлежащими свойствами антикоммутативности, необходимо считать, что классические добавки к ферми-полям по своей алгебраической природе подобны введенным в § 37.3 источникам ферми-полей и удовлетворяют коммутационным соотношениям (37.15) грассмановой алгебры. Подобно тому, как это было сделано в § 37.3, мы условимся считать все вариационные производные по ферми-полям левыми производными. Замечая, что формулы (5—7) могут быть представлены в виде

перепишем (8) в виде

Приведем еще формулы коммутации с S-матрицей и ее функциональными производными для бозе-оператора

для ферми-оператора :

Отметим, что коммутаторы ферми-операторов с четными по ферми-полям функционалами (например, вариационными производными от S четного порядка по ) имеют структуру (12а). В то же время структуру, подобную (126), имеют антикоммутаторы ферми-операторов с нечетными по ферми-полям функционалами.

Выразим теперь вакуумные ожидания

на основе которых в § 37 строились высшие функции Грина, через вариационные производные S-матрицы.

Используя обобщенную теорему Вика относительно получаем согласно (1) и (10)

    (13)

Здесь обозначает величину, полученную из (37.1) вычеркиванием оператора — знаковые сомножители, учитывающие

четность перестановок ферми-операторов, в случае, если поле с полуцелым спином.

Формула (13) выражает вакуумное ожидание от хронологического произведения k операторов и S-матрицы через сумму аналогичных ожиданий от операторов и S-матрицы, либо ее вариационной производной, т. е. эффективно понижает на единицу степень линейности по u.

Применяя троекратно формулу (13) к выражению связанному по формуле (37,24) с трехконцевой функцией Грина, получим после небольших преобразований

Сравнивая (37.24) и (14), получаем связь между и вакуумным ожиданием от третьей вариационной производной. Эта связь имеет вид

Здесь многоточием обозначены слагаемые, пропорциональные Ф и обращающиеся в нуль в пределе выключения источников. Для -концевой функции Грина соответствующее соотношение в отсутствии внешних источников имеет вид

Переходя к импульсному представлению

    (17)

получим также

Формулы (16), (18) допускают очевидное обобщение на случай ферми-полей.