45.5. Градиентные преобразования функций Грина.

Рассмотрим теперь выражения вида

получающиеся из (19) надлежащим вариационным дифференцированием и отвечающие высшим слабо-связным функциям Грина с b фотонными и электронными внешними линиями. Здесь

Совершим в интеграле (60) фазовую замену фермионных переменных интегрирования

такую, что

Лагранжиан примет вид

Произведем теперь разделение продольных и поперечных компонент интегрирования электромагнитного потенциала вида (42):

В силу (51) функция f здесь и в фазовом преобразовании — одна и та же. Поэтому, используя (47) и опуская штрих у фермионных переменных, запишем (50) следующим образом:

Как видно, интеграл по сводится к квадратурам (49) и ее производным по . Он может быть вычислен в явном виде.

В качестве иллюстрации рассмотрим простейший случай одноэлектронной функции Грина . Формула преобразования

от произвольной калибровки к поперечной факторизуется,

где продольная квадратура J имеет вид:

Выполняя интегрирование с помощью (49), находим

где согласно (46)

Функция F может быть вычислена в явном виде для частного случая . Для этого представим ее в виде свертки в -представлении

где D — причинная функция Грина безмассового поля (см. (П2Б.6)).

Интеграл (53) формально совпадает с (комплексно-сопряженным) фейнмановским интегралом для простейшей скалярной петли в диаграмме собственной энергии

и может быть вычислен стандартными приемами, изложенными в начале главы V. Получаем этим путем

где С — расходящаяся константа. Таким образом, в результате градиентного преобразования у фермионной функции Грина может появиться сингулярный множитель. В соответствии с результатами § 34 этот множитель может быть удален путем соответствующего изменения вычитательной процедуры. В результате приходим к следующей формуле градиентного преобразования