§ 51. Модели сильных взаимодействий

Мы переходим теперь к изучению ультрафиолетовых асимптотик моделей сильных взаимодействий. Сначала подробно рассмотрим однозарядную модель псевдоскалярного поля с четверным самодействием, введенную в § 36.2. Несмотря на простоту, эта модель дает исчерпывающую иллюстрацию к однозарядной ренормализационной группе.

51.1. Главное логарифмическое приближение модели

Лагранжиан модели возьмем в виде (47.2), несколько изменив нормировку константы связи

Инвариантный заряд h содержит произведение симметричного 4-вертекса на квадрат обезразмеренного мезонного, пропагатора

Ввиду гого, что первая поправка к d имеет второй порядок по h, первые логарифмические вклады в h идут из

Получаем согласно (36.34)

и, следовательно,

Дифференциальное уравнение (49.16) принимает вид

Таким образом, инвариантный заряд h имеет отрицательную производную и убывает от начальных положительных значений

Мы приходим к случаю г) по классификации § 49.2. Модель (1) при оказывается асимптотически свободной.

Представляет интерес определить асимптотику пропагатора в этом случае. Вычисляя асимптотику выражения (36.27), соответствующего диаграмме типа «грецкий орех», изображенной на рис. 50, получаем

Асимптотика функции d может быть теперь определена по общему рецепту (49.31). Определяя из (5) соответствующую функцию

получаем

т. е.

Таким образом, пропагатор d асимптотически стремится к свободному выражению . Это свойство является характерным для случая асимптотической свободы: асимптотики отдельных функций Грина с логарифмической точностью стремятся к свободным выражениям.

Свойства полученных результатов (4), (6) существенно основаны на положительности константы связи

В случае картина меняется кардинальным образом. Для обсуждения этого случая удобно ввести новое обозначение . Итак, вместо (1) рассмотрим модель

(такой знак константы связи соответствует положительно-определенному гамильтониану, обладающему нижним состоянием).

Для вновь определенного инвариантного заряда

получаем вместо (4)

— случай в) по классификации § 49.2. Ввиду этого в правой части дифференциального уравнения

становятся существенными следующие, высшие члены, и приближение главных логарифмов оказывается недостаточным.