42.2. Обобщение уравнения Дирака.

Это решение мы получим, подставив (10) в обобщенное уравнение Дирака. Для фактического построения этого уравнения возвратимся к формуле (9). Внося в нее представление (40.35), имеем:

где — вакуумное и одноэлектронное состояния при отсутствии взаимодействия.

Совершив обычный предельный переход найдем

Но

откуда

Для того чтобы исключить с самого начала обычные расходимости, будем считать, что Т-произведение здесь переопределено так, что (12) не содержит ультрафиолетовых бесконечностей. Имеем, следовательно,

где дается формулой (3).

Заметим, что диаграммы, определяющие непосредственно получаются из соответствующих диаграмм для свободной от расходимостей функции Грина

заменой фактора для входящей линии

«внешним» фактором

Поэтому связь между и G можно записать в следующем виде:

В § 38 на основе обобщенной теоремы Вика мы получили для электронной функции Грина уравнение Швингера, интегральная форма которого (38.46) символически может быть записана в виде

Подставляя это выражение в уравнение (13), записанное в форме

получим:

т. е.

Воздействуя на (14) оператором Дирака, с учетом того, что удовлетворяет уравнению Дирака для свободного поля, найдем для уравнение

впервые полученное Швингером (1951б). Напомним, что здесь представляет введенный в § 38 массовый оператор, который согласно (38.44) имеет вид

и, кроме того,

Теперь ясно, что в пределе выключения взаимодействия с квантованным электромагнитным полем ( конечно) мы получаем из (15) уравнение Дирака для классического электрона во внешнем поле

Таким образом, (15) представляет собой уравнение Дирака с радиационными поправками. Эти радиационные поправки, как видно, принадлежат двум различным типам. Член представляет собой потенциал внешнего поля сложенный с эффективным средним потенциалом поля, «индуцированного» в вакууме. Этот член содержит поправки к связанные с поляризацией вакуума. Величина представляет собой оператор массы, включающий в себя эффекты собственной энергии. В низшем порядке по эти величины

могут быть записаны в виде (считая, что конечно)

и

Поэтому при учете поправок порядка обобщенное уравнение Дирака (15) может быть записано в виде

Здесь — функция Грина классического электрона, движущегося в заданном внешнем поле Эта функция, по определению, удовлетворяет уравнению

и представляется суммой диаграмм с двумя внешними электронными линиями и любым числом внешних фотонных линий, соответствующих заданному полю (рис. 61).

Рис. 61.

Соответствующее разложение для может быть формально получено разложением в степенной ряд по выражения

и имеет вид

Уравнение (20) позволяет вычислить радиационные поправки к энергетическим уровням связанных состояний.