4.2. Переход к импульсному представлению.

Для дальнейшего вычисления динамических величин, как обычно, перейдем к импульсному представлению

и разложим потенциалы на положительно- и отрицательночастотные части

Выполняя интеграцию по переменной получим трехмерное импульсное представление потенциалов в виде

Здесь введены наши обычные обозначения

Напомним при этом, что в соответствии с определениями импульсных амплитуд условия комплексного сопряжения имеют вид

Подставляя разложения (14) в выражения (11), (12) и (13) и выполняя интеграцию по получим 4-вектор энергии-импульса

заряд

и вектор спина

Как видно, вектор спина (19) не зависит от времени, что обусловлено симметрией тензора энергии-импульса (7).

Принимая во внимание условия комплексного сопряжения (4.16), замечаем, что согласно (17) в выражении энергии член оказывается отрицательным, так что энергия не является положительно определенной. Как упоминалось выше, указанная трудность снимается при наложении дополнительных условий, которые в трехмерном импульсном представлении (14) принимают вид

В силу этих условий компоненты не являются более независимыми. Выражая с помощью (20) компоненту через остальные:

получаем для квадратичной формы, входящей под знак интеграла в (17), следующее выражение, зависящее лишь от «пространственных» компонент потенциала:

Форма (21) диагонализуется линейной подстановкой

представляющей собой разложение потенциала на продольную и поперечные составляющие по отношению к импульсу Здесь суть единичные векторы, ортогональные волновому вектору и друг другу:

и являющиеся ортами поперечной поляризации. Подстановка (22) есть не что иное как переход к локальному реперу в импульсном пространстве.

Подставляя (22) в (21), находим после несложных выкладок:

Внося это выражение в (17) и (18), получаем диагональные выражения для энергии-импульса и заряда, причем в новых переменных энергия оказывается явным образом положительно определенной: