50.2. Ультрафиолетовые асимптотики.

Согласно общему рецепту § 49 рассмотрим сперва асимптотику инвариантного заряда (48.4), совпадающего ввиду тождества Уорда с фотонной функцией Грина. Полагая получаем вместо (48.5)

Квадратура соответствующего дифференциального уравнения согласно (49.14) имеет вид

где

Для определения функции воспользуемся теорией возмущений. Во втором порядке получаем согласно (35.15)

Следовательно,

Подставляя (4) в (2), находим

Эта формула была впервые получена Ландау, Абрикосовым и Халатниковым (19546) прямым суммированием главных логарифмических членов.

Выражение (6) замечательно в двух отношениях. Во-первых, оно является функцией произведения и при разложении в ряд содержит все степени Таким образом, исходя из первого логарифмического члена (2) второго порядка теории возмущений, и воспользовавшись ренормализационной инвариантностью, мы получили выражение (6), содержащее все старшие логарифмические члены в любом порядке теории возмущений.

Во-вторых, выражение (6) неограниченно возрастает при ей — содержит так называемый «призрачный» полюс, возможное существование которого приводит к серьезным противоречиям с рядом общих положений теории (ср. Ландау, Померанчук (1955), Фрадкин (1955а)). Это второе свойство, согласно классификации § 49.2, соответствует случаю в). Выражением (6) нельзя пользоваться при

Внутренняя противоречивость результата (6) приводит нас к необходимости анализа его причин. Не составляет труда убедиться, что любая аппроксимация для , полученная по теории возмущений, не должна использоваться при больших значениях аргумента. Это означает, что верхний предел в левой части (2) не может быть много большим единицы. Таким образом, любые следствия

уравнения (2), основанные на аппроксимации для из теории возмущений и приводящие к

не являются обоснованными.

Перейдем к учету более высоких радиационных поправок Как было отмечено в § 48.5 коэффициенты разложения -функции в ультрафиолетовом пределе зависят от схемы перенормировки, начиная с . В квантовой электродинамике вычисления были выполнены вплоть до -петлевого уровня. Бакер и Джонсон (1969) провели расчеты в обычной схеме -операции, которую ниже будем называть схемой «импульсных вычитаний». Их результат имеет вид

где — функция Римана, причем .

При обсуждении формулы (9) и ее следствий следует иметь в виду связь между входящей в нее асимптотической константой связи а и низкоэнергетическим параметром разложения , равным постоянной тонкой структуры. Эта связь вида (49.9)

была найдена Рафаэлем и Рознером (1974).

Формулу (9) любопытно сравнить с выражением для бета-функции эффективного заряда в схеме размерной перенормировки

полученным Владимировым (см. Владимиров, Ширков (1979)) Если непосредственно подставить (9) в (2), то мы опять придем к случаю 49.2в), т. е. к внутреннему противоречию. Можно, однако, использовать вместо (9) разложение для

Благодаря положительному знаку перед третьим членом мы получаем случай (49.26). Выполняя интегрирование, находим

откуда в пределе имеем формально

Этот результат не меняется при использовании (11) вместо (9).

В этой связи нужно отметить, что уравнение (2) обладает одним интересным свойством. Предположим, что функция во всей области изменения своего аргумента определена и положительна, а также, что (см. Боголюбов и Ширков (1955 г.))

Тем самым мы полагаем, что истинная функция имеет единственную особенность при и теория не содержит каких-либо неприятных сюрпризов типа призрачного полюса (6).

Пусть, далее, мы вычисляем истинную функцию с помощью некоторого предельного перехода для функции , обладающей свойством

причем, однако, для любого фиксированного Л

Виося в (2), имеем

откуда на основании (13) получаем

Теперь видно, что для применимости формулы (13а) во всей области изменения нужно положить

Нетрудно сообразить, что именно такого рода аппроксимация для получается при вспомогательной регулярнзацяи с помощью введения нелокального взаимодействия, как это сделали Ландау и Померанчук (1955). Приведенное рассуждение показывает, что на основании аппроксимаций опасно делать какие-либо заключения о положении, имеющем место в точной задаче.

Отметим еще, что, разрешая трансцендентное уравнение (10) относительно а методом последовательных приближений (по малому ), в первом, однопетлевом приближении приходим, естественно, к (6), а во втором можем получить

Эта двухпетлевая формула, впервые полученная в работе Боголюбова, Ширкова (1955 в) (см. также формулу (43.12) 1-го издания этой книги), суммирует не только главные логарифмические вклады но также и «следующие за главными» вклады вида

С практической точки зрения учет последнего слагаемого в знаменателе квантовоэлектродинамической формулы (14) представляется несущественным. Однако в квантовой хромодинамике, где взаимодействие сильнее , учет двухпетлевого вклада оказывается важным и аналог выражения (14) является основной рабочей формулой.

Перейдем к электронной функции Грина. Основываясь на одно петлевых формулах теории возмущений из § 35.2 для структурных функций s и М (в обозначениях формулы (48.1)), имеем

причем в ультрафиолетовой области

Подставляя эти выражения в (49.31) и (48.22), находим

Используя во втором уравнении явное выражение (6) для а, получаем, пренебрегая высшими степенями :

Последнее выражение представляет собой простейшее приближение для гак называемой эффективной (или инвариантной) массы электрона. Аналогичные формулы для эффективных масс фермионов находят применение в квантовой хромодинамике и моделях великого объединения взаимодействий.

Подобным образом можно определить симметричную ультрафиолетовую асимптотику вершинной функции в случае, когда . Полагая и проводя выкладки, подобные приведенным, получим

Как видно из формул (14), (18), (19), для функций d, а, b получены разложения типа:

Из сравнения этих выражений с исходными разложениями (9), (15) видно, что для восстановления вида функции (с помощью дифференциальных уравнений ренормализационной группы) достаточно знать ее первый член разложения в ряд Маклорена. Таким образом, например, член в определяет сумму старших логарифмических членов вида член — сумму всех членов вида и т. д.