§ 18. Коэффициентные функции

18.1. Несобственная природа сингулярных функций.

Обсудим вопрос структуры коэффициентных функций, возникающих при выполнении операции умножения операторных выражений. Заметим, что в соответствии с теоремой Вика коэффициентные функции, получающиеся при раскрытии произведений линейных операторов имеют вид

где — перестановочные функции.

Произведение

двух каких-либо операторов, принадлежащих к рассматриваемому типу (17.1)

принадлежит к тому же типу, и его коэффициентные функции представляются выражениями вида

Следует заметить, однако, что функция и, тем более, функции

обладают высокой степенью сингулярности на световом конусе, и поэтому могут возникнуть серьезные сомнения в реальном смысле выражений вида (1), (2), включающих произведения этих функций в большом количестве.

В связи с этим целесообразно обсудить сейчас более общий вопрос о том, какие условия следует наложить на коэффициентные функции операторных выражений рассматриваемого типа (17.1), чтобы этим выражениям можно было придать определенный смысл, или, как говорят, чтобы в них не содержались «расходимости».

Ясно, прежде всего, что мы не можем требовать, чтобы коэффициентные функции являлись функциями в общепринятом в математике смысле, так как тогда мы должны были бы вообще исключить из рассмотрения такие «сингулярные», или «несобственные», функции, как и т. п., с которыми постоянно приходится иметь дело в релятивистской квантовой механике. Естественно поэтому считать, что определены именно как несобственные, т. е. обобщенные функции.

Попытаемся изложить содержание, которое обычно вкладывается в это понятие в работах по квантовой механике, но, как правило, отчетливо не формулируется. В отличие от обычных функций сингулярные или несобственные функции определяются не заданием их значений для всех значений аргументов (для некоторого множества значений аргументов эти функции могут быть бесконечными или вообще неопределенными), а заданием правил интеграции произведений их с достаточно регулярными функциями. Например -функция характеризуется правилами интеграции ее с непрерывными функциями, производные -функции — правилами интеграции их с соответственно дифференцируемыми функциями, и т. п.

Иначе говоря, несобственная функция определяется заданием соответствующего линейного функционала в подходящем «линейном пространстве» достаточно регулярных функций. Такая функциональная точка зрения проводилась в работах Соболева (1936) и Шварца (1950) по созданию новой математической теории, так называемой «теории распределений».

Мы, разумеется, не можем вдаваться здесь в сколько-нибудь полное изложение общей теории несобственных функций и потому ограничимся лишь основными формулировками, относящимися только к тем свойствам специальных коэффициентных функций, которые непосредственно потребуются нам в дальнейшем.

Сформулируем определение коэффициентных функций . В соответствии с принятой точкой зрения будем считать заданной и интегрируемой, если в некотором данном линейном пространстве L функций достаточно гладки и достаточно быстро убывающих на бесконечности, определен линейный функционал, который мы условимся символически изображать в виде

Уточним это определение. Введем класс функций непрерывных со всеми своими частными производными до порядка включительно, для которых все произведения

ограничены. В качестве пространства L будет приниматься линейное пространство, образованное функциями этого класса при каких-либо данных .

Таким образом, основное требование, которое всегда будет предъявляться к коэффиниентным функциям, состоит в том, чтобы интеграл (3) был определен как линейный функционал в линейном пространстве , хотя бы лишь при достаточно больших . В дальнейшем мы будем называть это требование условием интегрируемости.

Обычно построение коэффициентных функций удобно проводить с помощью несобственного предельного перехода. Сходящейся в несобственном смысле назовем здесь такую последовательность

    (5)

для которой соответствующая последовательность интегралов

сходится в обычном смысле для каждой функции из некоторого фиксированного класса . При этом, конечно, предполагается, что все функции (5) интегрируемы в данном . Для обозначения несобственной сходимости будут применяться обычные символы

Так как

также будет линейным функционалом в , то, уславливаясь представлять его символически в виде

мы определяем тем самым несобственный предел

как интегрируемую несобственную функцию. В силу этого определения

для всякой функции из класса с достаточно высокими значениями показателей .

Следует подчеркнуть, что несобственный предельный переход, в сущности, постоянно используется при рассмотрении сингулярных функций в квантовой механике, хотя, как правило, внимание на его отличие от предельного перехода в обычном смысле не обращается.

Так, например, когда говорят, что есть предел функции

для то понятию предела здесь, очевидно, придается именно несобственный смысл. Точно так же несобственным будет и предельный переход при в выражении

для фурье-образа функции

Разберем сейчас с этой точки зрения вопрос аппроксимации основных сингулярных функций с помощью регуляризованных выражений. Возьмем, например, функцию определяемую формальным соотношением

Выясним, прежде всего, какой смысл следует придавать фигурирующим здесь интегралам с бесконечными пределами. Как известно, обычный интеграл, взятый по бесконечной области, определяется как предел интегралов с конечными областями интеграции, неограниченно расширяющимися и в пределе охватывающими всю данную бесконечную область. Естественно поэтому интеграл типа

с полиномиальной определять как несобственный предел интеграла

при неограниченном расширении области

Можно показать, что такой предел действительно существует. Возьмем последовательность областей такую, что размеры четырехмерного куба

целиком содержащегося внутри стремятся к вместе с и рассмотрим интеграл

для функции некоторого класса . Имеем:

где

Переходя к трехмерному интегралу, найдем:

Оценим теперь порядок убывания на бесконечности. Пусть принадлежит классу . Тогда выражения

являются ограниченными, так что

Теперь ясно, что будет непрерывна и ограничена:

Имеем далее, интегрируя по частям,

откуда

и

Пусть v обозначает степень Полинома . Видим, что выражение являющееся непрерывной функцией убывает при не медленнее, чем

Поэтому

для любой функции из класса при Следовательно,

Мы можем утверждать теперь на основании (8), что для всякой функции класса

Тем самым доказано существование несобственного предела

для которого

Этот несобственный предел, не зависящий, очевидно, от специального выбора последовательности расширяющихся областей мы и примем за определение интеграла (7).

Таким образом, соотношение (6) действительно определяет интегрируемую несобственную функцию , причем

Как только что установлено, является несобственным пределом последовательности функций

являющихся, как легко видеть, регулярными и аналитическими.

Подобная аппроксимация, однако, в ряде случаев может оказаться недостаточно удобной. Дело в том, что выражения (11) не ковариантны, поскольку при лоренцовых преобразованиях область интеграции меняется.