§ 44. Производящие функционалы и функции Грина

44.1. Запись основных величин через функциональные интегралы.

Полученные в предыдущем параграфе формулы функционального усреднения позволяют получить «замкнутые» выражения для основных и высших функций Грина в форме континуальных интегралов. Такие выражения удобно получать единым образом, воспользовавшись концепцией производящих функционалов, введенных в главе VI.

Рассмотрим, например, систему взаимодействующих фермионного и бозонного полей, полный лагранжиан которой имеет вид

Добавляя в лагранжиан взаимодействия члены с источниками (ср. (37.8), (37.14))

запишем вакуумное ожидание матрицы рассеяния в присутствии источников

в виде функционального интеграла. Воспользовавшись формулами (43.16) и (43.40), находим

где

— действие взаимодействия рассматриваемой системы.

С помощью формул (43.17) и (43.39) интеграл (4) может быть представлен в виде

Здесь — полное (классическое) действие системы, соответствующее сумме полного физического лагранжиана (1) и членов с источниками (2), а — действие свободных полей.

Как было показано в § 37, функционал является производящим функционалом для вакуумных ожиданий вида

Производящий функционал Z для связных функций Грина получается из путем логарифмирования

Дифференцируя (6) два раза по J, находим

— представление для одночастичной мезонной функции Грина в присутствии источников в виде функционального интеграла. В пределе находим вместо (7):

где

— полное действие системы в отсутствие источников.

С другой стороны, дифференцируя производящий функционал Z по получаем (положив ) одночастичную фермионную функцию Грина в отсутствие внешних источников

Аналогично находим для слабо-связной -вершинной функции