5.3. Лагранжев формализм.

Переходя клагранжеву формализму, заметим, что, как мы увидим ниже (см. главу II), при квантовании электромагнитного поля не удается удовлетворить дополнительному условию Лоренца (6), как соотношению между компонентами квантованного потенциала Условие Лоренца в квантовой теории электромагнитного поля придется заменить некоторым условием для вторично квантованной волновой функции, обеспечивающим равенство нулю лишь среднего значения оператора по допустимым состояниям.

Поэтому мы не будем связывать условие Лоренца с лагранжевым формализмом. Функцию Лагранжа возьмем по образцу векторного поля, положив там

Этот лагранжиан фактически совпадает с лагранжианом Дирака — Фока — Подольского (1932) (см. также Вентцель (1942)):

отличаясь от него дивергенцией

От обычно используемого градиентно-инвариантного выражения

лагранжиан (12) разнится на величину, которая при интеграции по всему пространству-времени с учетом условия Лоренца обращается в нуль, не давая вклада в действие системы.

Подобным образом лагранжиан (12) приводит к величинам типа тензора эиергии-импульса, несовпадающим с обычными градиентно-инвариантными выражениями. Однако, как и в случае векторного поля, соответствующие разности выражаются через дивергенции и с учетом уравнений поля и условия Лоренца не дают вклада в динамические характеристики системы типа 4-вектора энергии-импульса. Что же касается однозначности самого тензора энергии-импульса (и подобных ему величин), то в соответствии с замечанием, сделанным в § 2, этот вопрос выходит за рамки настоящего изложения.

Из лагранжиана (12) обычной процедурой с помощью формул (1.4), (2.9), (2.15) получаем уравнения поля

теизор энергии-импульса

пространственную плотность энергии-импульса

тензор спинового момента

и пространственную плотность вектора спина

В дополнение к лагранжеву формализму наложим условие Лоренца

Заметим при этом, что это условие относится лишь к теории неквантованного электромагнитного поля и, как мы увидим (в главе II), при квантовании заменяется некоторыми условиями для допустимых состояний, эквивалентными условию Лоренца лишь в среднем.

Полученные выражения тензоров энергии-импульса и момента количества движения, как следовало ожидать, отличаются от соответствующих обычно принятых в теории электромагнитного поля градиентно-инвариантных выражений, получаемых из градиентноинвариантного лагранжиана (13). Однако нетрудно показать, что разности между соответствующими тензорами могут быть представлены в виде суммы соответствующих антисимметричных дивергенций и членов, обращающихся в нуль при учете уравнений поля и дополнительного условия Лоренца, а следовательно, приводят к совпадающим выражениям для Динамических характеристик системы.

Для вычисления динамических характеристик произведем разбиение компонент потенциала на положительно- и отрицательно-частотные части

и перейдем к импульсному представлению. Запишем формулу трехмерного импульсного представления, имея в виду, что трехмерные импульсные амплитуды связаны с четырехмерными амплитудами обычными соотношениями типа (4.15) и удовлетворяют следующим условиям комплексного сопряжения: