§ 53. Спектральное представление пионной функции Грина

В этом и следующем параграфах будут получены так называемые спектральные представления для пионной и нуклонной функций Грина. Впервые представления этого типа были получены Чслленом

(1952) для квантовой электродинамики и Леманом (1954) для мезонной теории. Однако метод, использовавшийся в этих работах, не может считаться удовлетворительным, так как формально манипулирует с бесконечными постоянными ренормировок и т. д.

Ниже мы получим спектральные представления Челлена — Лемана для функций Грина псевдоскалярной мезонной теории, исходя из общих свойств локальной теории поля, сформулированных в § 52, и пользуясь методом аналитического продолжения на комплексную плоскость,

53.1. Радиационные операторы первого и второго порядка.

Имея в виду дальнейшие приложения к процессам мезон-нуклонного рассеяния, мы ограничимся рассмотрением восьмикомпонентного спинорного нуклонного и трехкомпонентного мезонного полей, взаимодействующих друг с другом зарядово-симметричным образом, и не будем учитывать наличия электромагнитного поля и слабых взаимодействий с лептонами.

Кроме изотопической инвариантности, т. е. инвариантности относительно преобразований вращения в 3-мерном изотопическом пространстве, мы будем пользоваться представлением об инвариантности по отношению к фазовым преобразованиям

т. е. будем считать, что оба эти преобразования входят в группу G, фигурирующую в условии 52.2Б.

Обратимся к исследованию вакуумных средних от радиационных операторов первого и второго порядка в рамках сформулированной теории.

Не составляет труда убедиться, что по соображениям ковариантности относительно вращений в обычном и изотопическом пространстве вакуумные ожидания от радиационных операторов первого порядка, а также от тех операторов второго порядка, в которых одно дифференцирование выполняется по бозонному, а другое — по фермионному полю, равны нулю. Инвариантность по отношению к фазовому преобразованию (1) требует обращения в нуль также вакуумных ожиданий от Таким образом, отличными от нуля оказываются лишь вакуумные ожидания от радиационных операторов . В силу трансляционной инвариантности эти ожидания могут зависеть лишь от разности поэтому запишем их в виде

Заметим, что на основании , так что множитель в (2) и (3) может быть опущен.

Для уяснения смысла выражений (2) и (3) в рамках обычной теории укажем, что они могут быть весьма просто связаны с полными функциями Грина о помощью следующего рассуждения, основанного на «обобщенной теореме Вика», сформулированной в § 38.1.

Применяя эту теорему к полной мезонной функции Грииа

получаем

Применяя ее затем еще раз ко второму члену, находим

где

Переходя в (6) с помощью формул типа

к импульсному представлению, получим

Аналогичным образом для нуклонной функции Грина можно получить

Рассмотрим теперь более подробно . Введем для этого радиационный бозе-оператор первого порядка

который будем называть оператором тока (в целях соответствия обычной псевдоскалярной мезонной теории). Оператор эрмитов:

что является следствием действительности и унитарности S; это можно показать с помощью элементарной выкладки (подобной той, которая была использована в § 21.2 в доказательстве эрмитовости обобщенного гамильтониана).

Теперь можно выразить входящий в (2) радиационный оператор через и его вариационную производную. Варьируя (10), с учетом

унитарности S-матрицы и эрмитовости тока, получаем

Принимая теперь во внимание, что согласно условию 52.3Б

находим

Так как левая часть этого соотношения симметрична относительно перестановки имеем также:

Мы получаем, таким образом,

Отметим, что правая часть этой формулы, строго говоря, не определена при (это замечание относится и к нижеследующим соотношениям (16), (18)).

Из (12) и (13) вытекает также, что

Отметим еще, что из формулы (14) вытекают следующие операторные соотношения:

Для получаем из (14):