ГЛАВА X. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ

§ 52. Основные свойства S-матрицы в локальной теории поля

52.1. Введение.

В этой главе мы изложим основы еще одного метода, не опирающегося на разложения по степеням интенсивности взаимодействия, т. е. на теорию возмущений.

Как уже отмечалось, метод теории возмущений оказывается со вершенно непригодным для описания так называемых сильных взаимодействий (т. е. взаимодействий мезонов и барионов) из-за больших значений соответствующих констант связи. Как теперь известно, например, перенормированная константа связи псевдоскалярного взаимодействия пионов и нуклонов (8.8) является величиной большей единицы. Соответствующий безразмерный параметр разложения, аналогичный постоянной тонкой структуре а, оказывается равным (см. ниже § 57.5)

Вследствие этого простейшие фейнмановские диаграммы, соответствующие низшим степеням в разложениях по параметр не дают даже качественного согласия с экспериментом.

Метод дисперсионных соотношений, которому посвящена эта глава, предложенный Гелл-Манном, Голдбергером, Тиррингом (1954) и строго обоснованный в квантовой теории поля Боголюбовым (1956), сыграл важную роль в развитии теории сильных взаимо действий. В течение двадцатилетия, предшествовавшего появлению квантовой хромодинамики, он являлся основным методом исследования в этой области. Помимо большого числа строгих результатов он вошел органической составной частью в разнообразные эвристические схемы полуфеноменологического характера, а также явился исходным пунктом для ряда приближенных методов исследования динамики сильных взаимодействий, основанных на строго установленных или постулированных (как, например, двойное спек тральное представление Манделстама (1958)) аналитических свой ствах матричных элементов.

Ниже мы дадим сжатое, но достаточно полное и строгое изложение принципиальных основ метода и его главных приложений, базирующееся на общих физических принципах квантовой теории поля, таких как причинность, инвариантность, унитарность, т. е.

на принципах, лежащих в основе современной аксиоматической формулировки квантовой теории поля.

Математической основой дисперсионных соотношений является интегральная формула Коши. Как известно, эта формула позволяет представить аналитическую функцию от комплексной переменной через интеграл по замкнутому контуру Г, ограничивающему область G, внутри которой аналитична. Согласно этой формуле

В промежуточном случае, когда точка лежит на контуре интегрирования, рассмотрение интеграла Коши в смысле главного значения приводит к формуле

Рассматривая по отдельности действительную и мнимую части уравнения (2), приходим к соотношениям между . Дисперсионные соотношения как раз и представляют собой соотношения подобного типа между действительной и мнимой частями матричных элементов матрицы рассеяния.

Поэтому ясно, что для установления дисперсионных соотношений весьма важным является исследование свойств аналитичности матричных элементов. С этой целью обычно рассматривается аналитическая природа матричных элементов рассеяния как функций энергии и возможность их аналитического продолжения на верхнюю полуплоскость.

Обратимся к случаю, когда в результате такого аналитического продолжения мы получим функцию g (Е), которая при на верхней полуплоскости убывает не медленнее, чем т. е.

Составляя тогда контур интегрирования в (2) из действительной оси и дуги верхней полуокружности бесконечно большого радиуса, мы сможем отбросить интеграл по полуокружности и получим формулу вида

Беря действительную часть, приходим к соотношению между действительной и мнимой частями функции

Следует отметить, что для физических приложений условие (3) оказывается несколько узким. Нетрудно, однако, распространить приведенные рассуждения и на случай функций g (Е), полиномиально возрастающих при больших . Пусть, например, g (Е) обладает на бесконечности полюсом порядка, т. е.

Тогда величина

будет аналитической функцией в верхней полуплоскости, удовлетворяющей условию (3) для любых обладающих отрицательной мнимой частью. Подставляя g в (2), где контур Г выбран как и ранее в (4), получим после перехода к пределу при соотношение, действительная часть которого имеет вид

Соотношением такого типа является, например, полученное еще в 20-х годах Кронигом (1926) и Крамерсом (1927) дисперсионное соотношение в области классической электродинамики между вещественной и мнимой частями показателя преломления

Соотношения типа (5) именуются дисперсионными, чтобы отметить преемственность с формулой Крамерса — Кронига.

Подчеркнем, что возможность аналитического продолжения на верхнюю полуплоскость энергетической переменной, а следовательно, и получения самих формул типа (4), обусловлена соображениями причинности, которые представляют собой физическую основу дисперсионных соотношений.

Чтобы пояснить указанную связь, предположим, несколько упростив реальное положение вещей, что

причем в силу «условия причинности» функция F, зависящая от времени t, обладает свойством

При переходе на верхнюю полуплоскость, когда к Е добавляется а к интегралу (6) — множитель , этот множитель будет играть роль обрезающего фактора, обеспечивающего сходимость интеграла, поскольку при когда возрастает, функция вследствие условия причинности равна нулю.

Можно показать также, что если будет даже сингулярной функцией, но лишь бы интегрируемой в смысле определения § 19, интеграл (6) будет сходиться и определит функцию без существенных особенностей на бесконечности.

Иное положение будет иметь место, когда обращается в нуль лишь при , где а — некоторая «элементарная длина». Тогда, заменив под интегралом в (6) t на t — а, найдем, что

причем у функции h (Е) на бесконечности не будет существенной особенности (ею будет обладать множитель . Поэтому, чтобы в данном случае получить функцию, для которой выполняется дисперсионное соотношение, необходимо умножить F(Е) на .

Разумеется, в действительности положение значительно более сложно, хотя бы потому, что в выражениях, которые заменят (6), будет большее число переменных интегрирования. Тем не менее, несмотря на необходимость существенного технического усовершенствования приведенного рассуждения, основа его сохранится неизменной.