§ 10. Установление перестановочных соотношений
10.1. Типы перестановочных соотношений.
Перейдем к установлению перестановочных соотношений между операторными волновыми функциями. В классической теории свободных полей с квадратичным лагранжианом при введении канонического формализма полевые функции линейно выражаются через взаимно сопряженные обобщенные координаты и импульсы. Классические скобки Пуассона функций поля
оказываются при этом некоторыми функциями от х и у (точнее, от разности 
), не зависящими от 
. Поэтому, исходя из принципа соответствия 
в квантовой теории полей принимают, что закон перестановки операторных полевых функций имеет одну из двух форм: либо
либо
т. е. считают, что с-числом 
является либо коммутатор, либо антикоммутатор двух полевых операторов.
Соотношения первого типа называются перестановочными соотношениями Бозе—Эйнштейна, а соотношения второго типа — перестановочными соотношениями Ферми—Дирака.
Кванты полей, удовлетворяющих соотношениям (16), подчиня ются статистике Бозе—Эйнштейна. Соответствующие частицы называются бозонами. Кванты полей, удовлетворяющих 
, подчиняются статистике Ферми—Дирака, а соответствующие частицы называются фермионами.
Точный вид перестановочных функций А для любого поля определяется уравнениями (9.24)-(9.26) и структурой оператора энергии данного поля. Однако независимо от конкретного вида перестановочных соотношений можно показать, что перестановочная функция зависит лишь от разности 
т. е.
Для того чтобы установить это, рассмотрим коммутационные соотношения (1) в импульсном представлении. Вследствие линейности формул фурье-преобразования коммутаторы или антикоммутаторы
частотных составляющих в импульсном представлении 
также должны быть с-числами. Покажем прежде всего, что операторы одинаковой частотности должны строго коммутировать или антикоммутировать:
Здесь, как и в (2), символ 
обозначает либо коммутатор, либо антикоммутатор.
Рассмотрим амплитуду состояний 
с определенным значением 4-импульса, удовлетворяющую уравнению (9.32). Действуя на нее операторами 
в различной последовательности, получаем новые амплитуды
которые, в соответствии с ранее установленным, удовлетворяют уравнениям
Складывая и вычитая эти уравнения, находим
Если теперь допустить, что 
есть с-число, отличное от нуля, то сокращая на него, получим
т. е. придем к противоречию с исходным уравнением (9.32). Тем самым доказано (3). Точно таким же образом можно доказать, что
Соотношения (3), (4) имеют простой физический смысл. Они соответствуют тому, что акты рождения частиц любого поля не интер ферируют между собой, как не интерферируют между собой акты уничтожения частиц, а также акты рождения и уничтожения частии с различными импульсами.
Для доказательства (2) теперь достаточно рассмотреть коммута горы (антикоммутаторы) разночастотных частей операторных функций поля, Используя явный вид фурье-преобразования
убеждаемся, что если потребовать, чтобы коммутатор (антикомму татор) в импульсном представлении был пропорционален 
-функции (ср. (4))
то мы получим, что в координатном представлении соответствующая величина будет функцией разности 
у:
Следовательно, будет функцией разности и полный коммутатор (антикоммутатор). Тем самым доказано и (2). Отметим, что формула (2) выражает трансляционную инвариантность перестановочных соотношений. Вполне естественно, что для ее доказательства были использованы свойства оператора 4-вектора энергии-импульса, являющегося генератором преобразований сдвига.
Не составляет труда показать, что в случае комплексных полей, помимо (4), всегда равны нулю также коммутаторы (антикоммутаторы) операторов, относящихся к частицам разных зарядов, т. е.
Для этого следует рассмотреть амплитуду состояния 
с определенным значением заряда и провести рассуждения, подобные проведенным выше для доказательства (3). Мы предоставляем это читателю.
Физический смысл соотношений (6) заключается во взаимной независимости актов рождения и уничтожения частиц с различными зарядами.
Таким образом установлено, что для любого (комплексного) ПОЛЯ отл i. чными от нуля могут быть лишь с-числа
т. е. (анти)коммутаторы операторов рождения и уничтожения, относящихся к частицам с одинаковым 4-вектором энергии-импульса и одинаковым зарядом. Соответствующие выражения в координатном представлении являются трансляционно инвариантными:
а их сумма дает полную перестановочную функцию
Для определения нормировки в перестановочных соотношениях (5) и явного вида перестановочных функций следует обратиться к явному виду оператора 4-вектора энергии-импульса и использовать уравнения (9.24-9.26).
