48.3. Общее решение уравнений.

Функциональные уравнения ренормализационной группы могут быть решены в общем виде. Такое общее решение было дано Овсянниковым (1956).

Рассмотрим сначала инвариантный заряд в однозарядной теории (уравнения (47.32), (17) и (19)).

Считая на время известной функцией, можем рассматривать (19) как линейное однородное уравнение в частных производных. Два первых интеграла дифференциальных уравнений характеристик могут быть выбраны в виде

где — некоторая функция, для явного определения которой необходимо использовать явный вид функции Р и решить уравнение

Таким образом, искомая функция h представима в виде

где произвольная функция своих аргументов. Используем теперь условие нормировки инвариантного заряда (47.33). Разрешая для этого правую часть (28) относительно второго аргумента, получим

где — функция, обратная по отношению к Положим . С учетом (47.33), находим Уравнение (29) принимает вид

Функциональное соотношение (30) дает общее решение уравнения (47.32). Согласно этому соотношению всякому решению h исходного функционального уравнения соответствует некоторая функция двух аргументов такая, что это решение неявно определяется из (30).

Справедливо и обратное утверждение: какова бы ни была функция , обратимая относительно второго аргумента, уравнение (30) определяет функцию , удовлетворяющую функциональному уравнению (47.32). Доказательство этого утверждения сводится к ряду простых манипуляций с аргументами уравнения (30).

Как уже отмечалось, для определения явного вида а следовательно, и явного вида Я, достаточно задать функцию . Этот факт впрочем непосредственно следует из уравнения (17).

Перейдем к решению уравнения второго класса. Общее решение уравнения (21) может быть представлено в виде

Здесь первое слагаемое есть общее решение соответствующего однородного уравнения, а второе слагаемое удовлетворяет уравнению

В силу условия нормировки

и, следовательно,

причем при любой произвольной функции двух переменных выражение (31) удовлетворяет функциональному уравнению (47.29). Выражение (31) удовлетворяет также дифференциальному уравнению

(21), в котором правая часть определена как

Таким образом, мы нашли наиболее общее решение функционального уравнения второго класса (47.29). Нахождение общего решения дифференциального уравнения второго класса (21) при заданных функциях сведено к решению уравнения (32). Наконец, общее решение функционального уравнения третьего класса (47.31) может быть представлено в виде

причем функция удовлетворяет условию нормировки

а также дифференциальному уравнению типа (32)

Нетрудно убедиться, что выражение (33) при произвольной функции аргумента

удовлетворяет функциональному уравнению (47.31). Оно удовлетворяет также дифференциальному уравнению Овсянникова третьего класса (24), при условии, что функция связана с соотношением (35).

Рассмотрение однозарядного случая исчерпано. Перейдем к двухзарядному случаю. Ограничимся здесь общим решением уравнений первого класса, т. е. системы двух функциональных уравнений (12) и (13). Соответствующие уравнения Овсянникова образуют систему двух дифференциальных уравнений (27). Не составляет труда убедиться, что общее решение системы (27) может быть представлено в виде

где — произвольные функции трех аргументов, а функции удовлетворяют уравнениям

Условия нормировки инвариантных зарядов налагают связи на функции . Так, разрешая правые части соотношений (36) относительно , запишем

Условие нормировки приводит к функциональным равенствам

вследствие чего окончательно имеем

Эти соотношения являются аналогом уравнения (30) и дают наиболее общее решение системы функциональных уравнений (12) и (13).