30.4. Иллюстрация.

В качестве примера применения общих правил рассмотрим диаграмму G (рис. 28) в скалярной мезонной теории.

Рис. 28. Диаграмма G.

Рис. 29. Расходящиеся узлы диаграммы

Эта диаграмма содержит три расходящихся узла Г (рис. 29), для каждого из которых индекс При этом узлы частично пересекаются. Поэтому диаграмма является диаграммой второго класса. Для нее имеется три разбиения, содержащих расходящиеся узлы:

где узлы и совпадают с простыми вершинами.

Согласно формулам (29.9) и (29.28) имеем:

где для упрощения положено и т. д. Применяя, далее, (29.28) к узлам получаем

Таким образом, окончательно

Перейдем теперь к построению контрчленов, регуляризующих диаграмму рис. 28. Так как для всех расходящихся узлов , то согласно (29.29) операция сводится к вычитанию из значения соответствующей коэффициентной функции в точке, где все внешние (по отношению к импульсы равны нулю. После

такого вычитания мы получаем конечное выражение. Как было отмечено в § 29.6, точка вычитания фактически является произвольной, что находит свое отражение в рассматриваемом случае в возможности добавления к вычтенному выражению произвольной константы (обобщенная -операция). Таким образом,

В разделе 29.5 было отмечено, что вычитаемый член эквивалентен вкладу выражения (12) в пределе . Заметим теперь, что в этом пределе

где диаграмма получается из диаграммы G стягиванием расходящегося узла в точку (рис. 30).

Рис. 30. Операция «стягивания в точку» расходящегося узла

Пользуясь свойством (18), нетрудно теперь выписать интересующие нас контрчлены. Сделаем это графически, не выписывая длинных аналитических выражений.

Рис. 31. Действие операции

Действие операции на вклад диаграммы рис. 28 согласно (18) может быть представлено в виде графической операции, изображенной на рис. 31, где диаграмме, обведенной пунктиром, соответствует константа с и значение ее вклада в точке вычитания

логарифмически расходящегося при Действуя теперь оператором на правую часть соотношения, изображенного на рис. 31, получим выражение, соответствующее рис. 32.

Наконец, действие последнего вычитания дает после приведения подобных членов выражение, изображенное на рис. 33

Рис. 32. Действие операции .

Рис. 33. Действие операции на диаграмму рис. 28.

Нетрудно проверить, что действие оператора на выражение рис. 31 дает нуль, ввиду чего вместо (17) можно записать

Это обстоятельство является следствием общего свойства -опера упомянутого выше (2).