49.2. Асимптотики инвариантного заряда.
Как следует из уравнений (14) и (11), для определения ультрафиолетового асимптотического поведения инвариантного заряда 
достаточно знать его производную в окрестности точки нормировки 
Для ее нахождения можно использовать асимптотическую теорию возмущений
Здесь введено обозначение 
Ряд (17) можно представить в виде ряда по степеням 
Подставляя (8) в (11), получаем
Таким образом, для определения асимптотики 
необходимо вычислить в каждом порядке теории возмущений коэффициент при линейном логарифмическом члене (при «младшем» логарифме).
Для дальнейшего анализа чрезвычайно важным оказывается арифметический знак функции 
. Как видно из (9), при достаточно малых h он определяется знаком коэффициента 
т. е. знаком первой логарифмической радиационной поправки в (7).
Рассмотрим сперва случай, когда 
положительна в интересующей нас области значений h. Из уравнения (16) тогда вытекает, что 
растет с ростом 
Предел бесконечно больших I соответствует расходимости интеграла
стоящего в левой части уравнения (14), на верхнем пределе.
Возможны три случая (рис. 63):
а) Интеграл 
расходится при конечном значении 
Это возможно, если функция 
имеет в точке Н неинтегрируемую особенность. Например,
В этом случае в пределе больших I h стремится снизу к конечному значению Н,
причем характер стремления в рассмотренном примере имеет вид
Рис. 63
б) Интеграл 
расходится при бесконечном значении г. Инвариантный заряд неограниченно возрастает
Например,
или
Подставляя эти выражения в (20), получаем
в) Интеграл (20) остается конечым при 
. В этом случае уравнение (14) не допускает самосогласованной асимптотики для h при 
. Мы приходим к внутреннему противоречию.
Перейдем теперь к рассмотрению варианта, при котором 
отрицательна. При этом согласно (16) инвариантный заряд h убывает с ростом 
. Уравнение (14) удобно записать в виде
Здесь возможны два случая:
г) Интеграл (20) расходится при 
Тогда
д) Интеграл, стоящий в левой части (20), расходится при некотором конечном 
Этот случай близок к случаю а) и отличается от него лишь тем, что h стремится к своему асимптотическому значению сверху.
Обсудим физический смысл рассмотренных возможностей. Поскольку ультрафиолетовый импульсный предел 
по квантовомеханическому соотношению взаимности (см. также § 41.1) соответствует малым расстояниям, то это обсуждение удобно провести в терминах понятия перенормировки константы связи. Определяя константу перенормировки 
как отношение константы связи на больших расстояниях (физической константы К) к ее значению на малых расстояниях (затравочная константа 
), имеем
Случай а) соответствует конечной перенормировке константы связи
Случай б) соответствует бесконечной перенормировке
Эффективная константа связи на малых расстояниях неограниченно возрастает. Наоборот, если фиксировать любое конечное
значение затравочного заряда, то физический заряд обращается в нуль. Флуктуации вакуума полностью экранируют заряд.
Наконец, в случае г) имеем
При этом конечному значению физического заряда h соответствует нулевое значение асимптотического (т. е. затравочного). Эффект поляризации вакуума противоположен случаю полной экранировки и сводится как бы к бесконечному усилению интенсивности затравочной константы связи. Такое поведение инвариантного заряда в ультрафиолетовой области в современной литературе получило название асимптотического свободного. Асимптотическая свобода в ультрафиолетовой области с общей точки зрения привлекательна потому, что. даже при больших числовых значениях физических констант связи, в ультрафиолетовой асимптотике мы попадаем в область слабой связи, где можно пользоваться теорией возмущений
В последние годы был обнаружен класс моделей квантовой теории поля, содержащих неабелевы калибровочные поля (поля Янга—Миллса), приводящих к асимптотически свободному ультрафиолетовому поведению.
Мы не обсуждаем здесь случай в) как внутренне противоречивый Однако к этому случаю приводит анализ многих квантовополевых моделей, основанный на использовании информации из нижних порядков теории возмущений. Одной из таких моделей является спинорная электродинамика, которую мы рассмотрим в следующем параграфе. Там же будут даны более подробные комментарии варианта в).
Мы закончили рассмотрение возможных ультрафиолетовых асимптотик инвариантного заряда в однозарядных перенормируемых моделях. В моделях, содержащих несколько констант связи, необходимо провести соответствующий анализ системы асимптотических уравнений для инвариантных зарядов.
Дифференциальные уравнения Ли для асимптотических инвариантных зарядов в 
-зарядном случае имеют вид
Здесь
Важным свойством системы (26) является отсутствие явной зависимости правых частей от аргумента I, который поэтому можно исключить, поделив, например, первые k уравнений на последнее. Обозначая
получаем
— систему k нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка Качественный анализ такой системы может быть произведен методами качественной теории дифференциальных уравнений. Мы не будем этим заниматься. Отметим лишь, что ниже, в § 51, уравнения (27) используются при исследовании двухзарядной мезон-нуклонной модели.
