32.3. Природа взаимодействий второго рода.

Остановимся более подробно на свойствах взаимодействий второго рода. Как мы уже убедились, среди бесконечного числа типов контрчленов, возникающих в таких теориях, содержатся группы членов одинакового операторного типа, но с бесконечно возрастающими степенями производных. Такие ряды по степеням производных фактически представляют собой разложение некоторых нелокальных выражений и потому, быть может, выражают нелокальные взаимодействия. Например, лагранжиан псевдовектор ной мезон-нуклонной связи

требует введения в эффективный лагранжиан бесконечного числа контр членов вида

которые в сумме могут рассматриваться как разложение нелокального выражения

в ряд по степеням производных функций

Таким образом, в случае взаимодействий второго рода происходит фактическое исчезновение локализуемости эффективного лагранжиана, который начинает зависеть от поведения функций поля не только в бесконечно малой окрестности точки При этом оказывается, что, вне зависимости от малости константы взаимодействия, становятся существенными члены высших порядков при достаточно больших импульсах. Действительно, из соображений размерности следует, что контрчлен, содержащий производных, пропорционален фактору где — малый параметр с размерностью длины («универсальная длина»), связанный степенным образом с константой взаимодействия. В -представлении производные превращаются в импульсы, и мы получаем разложение по

где

— комптоновская длина волны. При достаточно больших величина становится сравнимой с универсальной длиной и параметр разложения (13) нелокального лагранжиана в ряд по производным перестает быть малым. Универсальная длина в этом случае является характеристикой физической «размытости» частицы, и ее появление сигнализирует о важности влияния внутренней структуры частицы.

Таким образом, лагранжианы взаимодействия второго рода, возможно, представляют собой «обломки» нелокализованных взаимодействий, представленные в локализованном виде. Для последовательного построения таких теорий необходимо с самого начала исходить из нелокального лагранжиана, учитывающего внутреннюю структуру элементарных частиц. Такие попытки, с определенной долей успеха, время от времени предпринимались (см., например, книгу Ефимова (1977)).

Следует в этой связи отметить, что все современные квантовополевые теории реальных взаимодействий — квантовая электродинамика, объединенная теория электрослабых взаимодействий и квантовая хромодинамика — являются локальными и перенормируемыми, а каких-либо экспериментальных указаний на существование нелокальных эффектов не обнаружено. Поэтому мы не будем более обсуждать неперенормируемые и нелокальные взаимодействия.

Заметим лишь, что упомянутая выше гипотетическая картина нелокальной природы взаимодействий второго рода не является

бесспорной. Имеется по крайней мере еще одна, достаточно широко обсуждавшаяся в литературе, альтернатива. Она связана с возможной неаналитичностью квантовополевых разложений по константе связи (т. е. нарушением гипотезы б) из обсуждения свойства разложимости в § 20.1). Достаточно сильная неаналитичность в точке g = 0 может привести к тому, что «степень расходимости» коэффициентов разложения по степеням g будет быстро возрастать.

Отсылая за подробностями к работам Редмонда, Урецкого (1958) и Боголюбова, Логунова, Ширкова (1959), приведем в качестве иллюстрации модельное выражение для вклада в амплитуду фермион-фермионного рассеяния в теории, основанной на четверном взаимодействии фермиевского типа

Написанный здесь интеграл как бы соответствует сумме вкладов итераций однопетлевых диаграмм (см. ииже рис. 49). Этот интеграл хорошо сходится и может быть вычислен в явном виде:

Здесь — корень уравнения

Однако при попытке разложения подынтегрального выражения в ряд по степеням G почленное интегрирование приводит к возрастающим степенным расходимостям

(здесь — квадрат импульса обрезания или массы Паули—Вилларса), достаточно хорошо имитирующим структуру главных расходимостей ряда теории возмущений в теориях второго рода.

Это свойство отражает неаналитичность интеграла (14) по G при Анализ выражений (15), (16) показывает, что особенность интеграла К имеет вид

Функция

обладает свойствами

отраженными в структуре ряда (17).

Для сравнения заметим, что конструкции, аналогичные (14), могут быть Построены и для теорий первого рода. Соответствующее модельное выражение

для фотонного проиагатора в спинорной электродинамике имеет вид ,

Интеграл подобно К сходится, но не допускает разложения по степеням а. Расходимости коэффициентов степенного разложения имеют чисто логарифмическую структуру. Особенность в точке имеет вид

Функция

в отличие от функции l (19), в точке равна нулю вместе со всеми своими производными.