§ 7. Спинорное поле. Свойства решений и динамические инварианты

7.1. Импульсное представление и матричная структура.

Перейдем к рассмотрению свойств решений матричного уравнения Дирака (6.20)

Каждая из 4-х компонент удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона. В самом деле, действуя на (6.20) слева оператором , находим с учетом (6.3):

Поэтому может быть представлена в виде

причем импульсная амплитуда по определению, удовлетворяет уравнению

Здет введено обозначение

которым мы часто будем пользоваться при дальнейшем изложении.

Разлагая, как обычно, функцию на положительно- и отрицательно-частотную части,

и интегрируя по получаем формулы трехмерного импульсного представления в виде

Здесь приняты обозначения

Трехмерные амплитуды удовлетворяют матричным уравнениям

Разные знаки k в этих уравнениях обусловлены различием знакор в подынтегральных экспонентах в формулах (5).

Матричная структура зависит от представления дираковских матриц у и может быть определена следующим образом. В силу установленной выше ковариантности уравнения (2) его можно рассматривать в какой-либо фиксированной системе отсчета, имея в виду, что переход к любой другой системе может быть всегда осуществлен с помощью изложенных в предыдущем параграфе преобразований. Выбирая в качестве таковой систему, в которой находим из (2) и (7)

Отсюда в представлении (6.18) получаем:

Здесь а, Р — матричные индексы, а — символы Кронекера.

Решение для произвольного отличного от нуля к может быть получено из (8) соответствующим лоренцевым преобразованием.

Уравнения, которым удовлетворяют могут быть также представлены в форме

в которой они отличаются друг от друга лишь знаком при . Каждое из них, как только что установлено, обладает двумя линейно независимыми решениями. Отсюда вытекает, что уравнение Дирака для каждого заданного значения 4-вектора k (знак компоненты фиксирован) обладает лишь двумя линейно независимыми решениями.

Теперь нетрудно установить трансформационную природу функций Рассмотрим для этого совокупность преобразований, состоящую из трехмерных чисто пространственных вращений и отражений пространственных осей Она образует группу G, являющуюся подгруппой группы Лоренца. Ввиду того, что преобразования из группы G не затрагивают координату времени они оставляют также инвариантной матричную структуру разбиения (3) функции поля на частотные части. Иными словами, при трехмерных вращениях и пространственных отражениях двухкомпоненгные величины преобразуются независимо друг от друга. Поэтому каждая из них реализует двумерное представление группы вращений и отражений трехмерного пространства. Такие представления называются спинорными, а величины, преобразующиеся по ним, - спинорами трехмерного пространства.

Таким образом, четырехкомпонентная функция поля преобразующаяся по спинорному представлению группы Лоренца и представляющая собой поэтому спинор четырехмерного псевдоевклидова пространства, на котором определена группа Лоренца, разлагается относительно группы трехмерных вращений и отражений на две неприводимые части, которые являются спинорами трехмерного пространства .

Факт независимости преобразования частотных составляющих функций поля при трехмерных вращениях и отражениях в используемом нами представлении (6.18) немедленно проверяется следующим образом.

В соответствии с (8) полевая функция может быть при представлена

где двухкомпонентны

С другой стороны, записывая матрицы Дирака (6.18) с помощью двухрядных матриц Паули

в «расщепленном виде»

убеждаемся, что матрицы преобразований трехмерных вращений и отражений в соответствии с (6.31) и (6.34) в «расщепленном» представлении (9) оказываются диагональными:

откуда непосредственно вытекает независимость преобразований и

Соответственно этому сопряженный спинор при фиксированном знаке также обладает двумя линейно независимыми решениями. Из комплексности рассматриваемых решений уравнения Дирака вытекает, что они могут описывать положительно и отрицательно заряженные частицы. Из наличия двух линейно независимых решений вытекает, что указанные частицы могут находиться в двух различных состояниях, отличающихся, как будет показано ниже, знаком проекции спина на направление движения.