30.3. Переход к пределу при е = 0.

Рассмотрим свойства аналитичности фейнмановских интегралов и возможность перехода к пределу при . По существу, это вопрос о сходимости интегралов типа (12) или (29.26) на верхнем пределе по переменным Поведение же подынтегральных функций при малых а следовательно, и ультрафиолетовые перенормировки здесь оказываются мало существенными. Обратимся поэтому сначала к неперенормированному регуляризованному интегралу (29.16). Поворачивая контуры интегрирования по переменным а, на 90° в комплексной плоскости, т. е. совершая замену

запишем его в виде

Представляя показатель экспоненты

находим с помощью условий (29.25) и (29.26)

Теперь очевидно, что при выполнении условия

форма А оказывается отрицательной, интеграл (14) абсолютно сходится и преобразование (13) законно. В полученном выражении можно перейти к пределу при и получить функцию, аналитическую в области, определяемой неравенством (15). Это неравенство можно записать в релятивистски-инвариантной форме:

где — времениподобный единичный вектор, направленный в будущее:

В изложенной процедуре мы сначала устремили к нулю. Перенормировки и переход к пределу составляют второй этап. Однако операции поворота (13) и предельный переход можно осуществить и непосредственно в перенормированном интеграле (12). Фактически это следует из того, что в рассматриваемом случае точка оказывается регулярной и разложения в ряд Маклорена допустимы. Последнее обстоятельство обусловлено тем, что согласно предположению все массы строго положительны и

В случае же, когда некоторые из масс равны нулю, точка может и не быть регулярной. Тогда выбор центра разложения в точке при определении операции Д (G) может оказаться недопустимым, и центр приходится помещать в некоторой точке с чисто мнимой временной компонентой Поскольку, однако, выделение какой-либо точки в импульсном пространстве (кроме точки не является инвариантным относительно

воротов, то соответствующий полином необходимо, кроме того, усреднить по сфере

При таком выборе операции сделанные выше заключения о свойствах коэффициентных функций, получающихся в результате операции , очевидно, сохраняются, с тем, однако, отличием, что аналитичность будет иметь место лишь для точек k с чисто мнимой .

Пусть теперь импульсы k совершенно произвольны. Пока массы имеют конечные, чисто мнимые отрицательные добавки — в интегралах содержатся обрезающие множители и функции являются регулярными. При устремлении к нулю они сходятся лишь в несобственном смысле. Получающиеся при этом предельные выражения, представляющие собой истинные коэффициентные функции Т-произведений, оказываются несобственными и могут обладать особенностями в некоторых областях значений своих аргументов.

Однако в силу свойств интегрируемости операторные интегралы

при достаточно регулярных и достаточно быстро убывающих на бесконечности функциях оказываются сходящимися, и трудности возникают здесь при предельном переходе соответствующие матричные элементы оказываются расходящимися. В этих случаях обычно говорят о расходимостях типа инфракрасной катастрофы или о резонансных знаменателях.

Сингулярности первого типа возникают, как известно, из-за неприменимости метода теории возмущений при описании процессов с квантами очень малой энергии и могут быть исключены из результатов методом Блоха—Нордсика (см. ниже § 35) или введением в фотонные -функции малой константы, играющей роль «фотонной массы» (см. ниже § 35.4).

Сингулярности второго типа имеют место, например, в том случае, когда процесс рассеяния высокого порядка при данных значениях импульсов может быть сведен к более простым независимым процессам низшего порядка.

Следует заметить, что расходимость этих двух типов проявляется и в обычной квантовой механике в тех случаях, когда применение теории возмущений незаконно. Здесь мы подчеркнем, что условие интегрируемости операторных функций гарантирует лишь отсутствие расходимостей, специфических для квантовой теории поля — «расходимостей при больших импульсах».

Мы сформулировали выше рецепт построения интегрируемых коэффициентных функций для операторов Заметим

теперь, что введение регуляризованных причинных функций

имело в нашем рассуждении чисто вспомогательный характер и, в сущности, требовалось лишь для выяснения того, что полученные выражения для удовлетворяют всем условиям, наложенным на члены разложения матрицы рассеяния. Практически, например при вычислении указанных коэффициеятных функций, вполне возможно оперировать «истинными» -функциями. Переходя при этом к -представлению, можно применять операцию , исключив из области интеграции по а лишь малую область около точки