3.2. Импульсное представление и частотные компоненты.

Выражения для динамических величин принимают более наглядный вид в импульсном представлении. С этой целью представим функцию поля в виде четырехмерного интеграла Фурье:

причем

а степень множителя выбрана равной для удобства дальнейшего перехода к трехмерному интегралу.

Условие действительности функции приводит к следующему свойству комплексного сопряжения для

Подставляя разложение (9) в уравнение поля (2), находим, что функция удовлетворяет уравнению

и поэтому может быть представлена в виде

Множитель устанавливает связь между «энергетической» переменной «импульсной» переменной k и членом , который поэтому представляет собой квадрат массы:

С учетом (11) разложение (9) принимает вид

Из-за наличия под знаком интеграла -функции интеграция происходит не по всему 4-мерному -пространству, а лишь по двум трехмерным гиперболоидам

один из которых целиком лежит внутри верхнего светового конуса, а другой — внутри нижнего. Замечая еще, что указанные гиперболоиды по отдельности являются лоренц-инвариантными, мы приходим к следующему лоренц-инвариантному разбиению интеграла (12) на два слагаемых:

    (16)

Здесь

а — известная разрывная функция

Функции соответственно введенным индексам мы будем в дальнейшем именовать положительно-частотной и отрицательно-частотной частями функции Как видно, при этом знак частотности связывается со знаком произведения (точнее, со знаком «частотного» члена ) в подынтегральной экспоненте. В связи с этим заметим, что в современной литературе иногда принимают обратный порядок обозначений, связывая «частотность» со знаком формы

Наш выбор обозначений связан с тем, что (как будет показано в главе II) выражения типа (15) в квантовой теории соответствуют рождению частиц поля, а выражения типа (16) — их уничтожению. Поэтому в принятой нами системе обозначений знаки не только соответствуют знаку частоты, но и символизируют физический смысл соответствующих квантовых операторов: — рождение, — уничтожение.

Как будет показано ниже, произведенное разбиение оказывается также весьма удобным при записи динамических величин в импульсном

представлении, поскольку последние выражаются в виде квадратичных форм от

Заметим, кроме того, что в связи с действительностью функции правила комплексного сопряжения для имеют вид

Выполняя в (15) и (16) интеграцию по получаем:

Формулы, обратные (20), выражают через функцию поля в координатном представлении и ее временную производную Они имеют вид:

Здесь удобно перенормировать трехмерные фурье-амплитуды. Обозначим для этого

тогда выражения (20) примут вид

Выбор нормировочного множителя в (22) станет понятным из выражений для динамических величин (см. ниже, (26)).

Подставляя (14), (23) и (24) в выражение для плотности энергии (5) и интегрируя по конфигурационному пространству, получаем:

Нетрудно показать, что слагаемые, содержащие произведения функций одинаковой частотности, не дают вклада в динамический

инвариант . В самом деле, например,

и так как

получаем:

Подобное соотношение имеет место и для квадратичной формы по . Поэтому

С помощью выкладки, вполне аналогичной только что проведенной, находим теперь:

Соответствующее выражение для вектора импульса имеет вид

Объединяя эти выражения, запишем их в форме, справедливой также и в том случае, если бы в течение всей выкладки функции считать взаимно некоммутируемыми (т. е. не менять их порядка):

    (26)

Такое представление окажется полезным при квантовании скалярного поля.

Теперь виден смысл нормировки в (22). Амплитуды выбраны так, чтобы произведения могли быть истолкованы как плотности средних чисел частиц, обладающих импульсом , энергией и массой и не имеющих заряда и спина. Примером таких незаряженных бесспиновых частиц являются нейтральные псевдоскалярные -мезоны.

С помощью четырехмерных амплитуд -вектор энергии-импульса может быть представлен в явно ковариантной форме: