§ 40. Динамические переменные системы взаимодействующих полей

Рассмотрим вопрос о построении динамических характеристик системы взаимодействующих полей, например, 4-вектора энергии-импульса, тензора момента и 4-вектора тока. В теории невзаимодействующих полей соответствующие выражения непосредственно получаются с помощью теоремы Нётер и принципа экстремального действия. В случае взаимодействующих полей этот путь оказывается неконструктивным, так как мы не имеем в своем распоряжении точных решений уравнений взаимодействующих полей, осуществляющих экстремум полного действия системы в целом. В этом случае приходится иметь дело с операторными волновыми функциями свободных полей и из них конструировать различные физические величины.

40.1. Энергия, импульс и тензор момента.

Для построения 4-вектора энергии-импульса и тензора момента построим бесконечно малое унитарное преобразование амплитуды состояния при бесконечно малых преобразованиях Пуанкаре

При этом согласно (20.18)

Вычислим бесконечно малую вариацию

С учетом (9.17) и (20.19) находим:

Таким образом, вариация обусловлена как унитарным преобразованием так и преобразованием области взаимодействия

Принимаем теперь во внимание, что в соответствии с (9.17) и (9.18)

где по форме — операторы энергии-импульса и момента количества движения в отсутствие взаимодействия, а также

причем в силу (20.17)

Подставляя эти соотношения в (2), находим:

где

и

Мы пришли, таким образом, к искомым выражениям для компонент 4-вектора энергии-импульса и тензора момента количества движения динамической системы при наличии взаимодействия. Правильные трансформационные свойства их очевидны из формы записи. Взяв

где — параметр поверхности, некоторый 4-вектор, характеризующий геометрию поверхности, найдем:

так что

В частности, если в качестве выбрать орт временной оси,

то получим

Как видно, в этом случае выражение для полного импульса то же, что и при отсутствии взаимодействия, а выражение полной энергии складывается из «собственной энергии» частиц и энергии взаимодействия

Мы имеем здесь полную аналогию с обычной формулировкой квантовой механики, причем ясно, что с точностью до «степени размытости» функции f можно рассматривать как плотность энергии взаимодействия.

Покажем теперь, что средние значения

не зависят от вида g при изменении g в рассматриваемом классе допустимых функций, Для доказательства будем исходить из того (см. § 39.4), что преобразованная амплитуда состояния

также удовлетворяет уравнению Шредингера в интегральной форме. Поэтому

что имеет место для любого лоренцева преобразования, в частности и для бесконечно малого. Но, как уже было показано, для последнего

где

Имеем, следовательно,

откуда с учетом того, что

получаем:

т. е.

Вспоминая, что есть линейная комбинация из с произвольными коэффициентами , убеждаемся, что имеют место соотношения

которое мы и хотели установить.

Покажем теперь, что при изменении g в классе G не меняются и собственные значения рассматриваемых операторов Возьмем, например, оператор энергии. Пусть при некотором допустимом собственная функция этого оператора будет , а соответствующее собственное значение равно Е. Тогда

Пусть — амплитуда состояния, удовлетворяющая основному уравнению и переходящая в при т. е.

С другой стороны, как уже было показано, если удовлетворяет уравнению Шредингера (39.1), то ему удовлетворяет также . Но поскольку является линейной комбинацией операторов с произвольными коэффициентами, то и каждый из них по отдельности будет обладать этим свойством. Поэтому , а следовательно, и удовлетворяют (39.1). Отсюда заключаем, что так как согласно (10) аннулируется при то и везде в G остается равной нулю. Таким образом, всюду в

что доказывает инвариантность собственных значений. Видно также, что в качестве собственной функции всегда можно выбрать амплитуду состояния, удовлетворяющую основному уравнению.

Установленные свойства инвариантности средних и собственных значений рассматриваемых операторов представляют в нашей теории одновременно законы сохранения, ковариантности и независимости данных физических величин от степени размытости допустимых пространственно-подобных поверхностей. Так, инвариантность по отношению к изменению g, обусловленному трансляцией, очевидно, соответствует обычным законам сохранения. Инвариантность по отношению к изменениям g, вызываемым лоренцевыми вращениями, обеспечивает фактическую ковариантность. Наконец, инвариантность по отношению к изменениям g, вызванным изменением процесса сглаживания функции g, выражает независимость рассматриваемых физических величин от характера процесса выключения взаимодействия.

Заметим в этой связи, что, вообще, если для некоторого имеет место соотношение

то в нашем представлении это означает, что величина является интегралом движения.