ГЛАВА II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНЫХ ПОЛЕЙ

§ 9. Общие принципы квантования волновых полей

9.1. Операторная природа функций поля и амплитуда состояния.

До сих пор мы рассматривали классические поля. Теперь перейдем к квантованию волновых полей. В квантовой теории полей полевые функции описывают совокупности частиц, процессы взаимных превращений которых содержатся в теории явно. В соответствии с этим волновые функции квантованных полей приобретают операторный смысл и распадаются на операторы рождения и операторы уничтожения частиц, между которыми устанавливаются перестановочные соотношения. Операторные волновые функции определяются уравнениями поля и перестановочными соотношениями с точностью до унитарного преобразования.

Функции поля, таким образом, уже не являются функциями в классическом смысле, а становятся операторами, действующими на общую для всех полей волновую функцию вторичного квантования Ф, которая называется амплитудой состояния (или вектором состояния).

Подобно тому как в обычной квантовой механике состояние системы задается волновой функцией в квантовой теории поля физическое состояние системы полностью характеризуется амплитудой состояния Ф. Так же как и амплитуда состояния Ф может рассматриваться как вектор в некотором линейном пространстве (т. е. в котором определено скалярное произведение).

Ввиду того, что в квантовополевом случае состояние характеризуется такими величинами, как 4-импульс, спин, число и сорт частиц, с математической точки зрения удобно говорить об обобщенных гильбертовых пространствах, включающих в себя «несобственные» элементы.

Как и в квантовой механике, не все векторы Ф обладают конечной нормой (например, соответствующие плоским волнам). Однако нормы физических состояний всегда могут быть выбраны конечными (эти состояния описываются волновыми пакетами). Такие векторы состояний удобно нормировать на единицу:

В квантовой теории поля средние значения и вероятности состояний даются квадратичными формами амплитуды состояния.

Поставим теперь вопрос о трансформационных свойствах амплитуд состояний Ф при преобразованиях координат и полевых функций, рассмотренных в § 2.

Ввиду того что задание этих свойств представляет собой основной постулат квантования волновых полей и что этот постулат может быть сформулирован естественным образом в духе соответствия с обычной квантовой механикой, напомним кратко некоторые основные сведения из квантовой механики.