§ 22. Раскрытие хронологических произведений

22.1. Хронологическое спаривание.

Обладая явным выражением для матрицы рассеяния, мы можем приступить к вычислению ее матричных элементов по различным состояниям. В процессе этого вычисления нам придется приводить члены матрицы к нормальной форме, т. е. к форме, в которой все операторы уничтожения в отдельных слагаемых стоят справа, а операторы рождения — слева.

Получим поэтому представление Г-произведений локальных операторов через нормальные произведения соответствующих операторов поля. Для этого удобно распространить понятие Г-произведения на случай общей системы линейных операторов, определенных в § 17.

Определим хронологическое, или упорядоченное, произведение линейных операторов

как их обычное произведение в хронологическом порядке, умноженное на , где — четность ферми-перестановок при

переходе от порядка к хронологическому порядку, т. е.

где — четность перестановки ферми-операторов при переходе от порядка к порядку

Рецепт раскрытия таких произведений дает теорема Вика для Т-произведений, являющаяся аналогом теоремы Вика для обычных произведений. Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, введем важное понятие хронологического спаривания операторов.

Рассмотрим с этой целью (1) для случая двух операторов поля:

Это выражение в соответствии с определением обычного спаривания

может быть преобразовано к виду

Отсюда видно, что в любом случае отличается от на с-число, которое мы назовем хронологическим спариванием, , т. е., по определению,

и

Отметим, прежде всего, важную особенность хронологического спаривания. Под знаком хронологического спаривания можно изменять порядок сомножителей, точно так же как и под знаком нормального произведения:

что непосредственно следует из (4).

Определим хронологические спаривания для операторов основных волновых полей. Заметим для этого, что, вычисляя вакуумное среднее от (3) с учетом основного свойства нормального

произведения и нормированности амплитуды вакуума, мы получим

т. е. что хронологическое спаривание двух операторов поля равно вакуумному среднему от хронологического произведения этих операторов. С другой стороны, в § 15 было установлено, что такие вакуумные ожидания с точностью до множителя i равны причинным функциям Грина соответствующих полей. Воспользовавшись полученными в этом параграфе формулами, находим: для скалярного поля

для электромагнитного поля

для векторного поля

для спинорного поля

Отметим, однако, что соотношения, приводящие к (6) — (9), были установлены в § 15 лишь для . Из доказанного в § 21 свойства ковариантности Т-произведений вытекает также, что эти соотношения имеют место и при у. Таким образом, (6) — (9) можно считать справедливыми всюду при .

Правила же интеграции этих выражений в бесконечно малой окрестности точки у можно фиксировать произвольно. Так, например, можно добавить к правой части каждого из них любую коэффициентную функцию квазилокального оператора

где — какой-либо полином по . Эта необходимость дополнительного определения спаривания в бесконечно малой окрестности точки является частным следствием произвола, содержащегося в Т-произведении. В самом деле, Т-произведения

заданы формальным «определением» (21.27) и (2) лишь при несовпадающих значениях своих аргументов. Необходимо поэтому доопределить их в бесконечно малых окрестностях соответствующих точек совпадения аргументов, задав правила интеграции их коэффициентных функций, т. е., иначе говоря, следует определить коэффициентные функции T-произведений как интегрируемые несобственные функции.

Таким образом, мы приходим к выводу о необходимости не только выбора лагранжиана взаимодействия, но и одновременного доопределения T-произведений.

Следует, однако, отметить, что влияние изменения T-произведения на можно учесть изменением лагранжиана Действительно, при изменении T-произведений функций поля мы тем самым вводим в T-произведения лагранжианов взаимодействия различные квазилокальные операторы, что, как было показано в предыдущем параграфе, сводится к добавлению некоторых выражений к лагранжиану взаимодействия.

Следовательно, для получения матричных элементов матрицы рассеяния S (g), определяющих собой структуру физических процессов, необходимо одновременно задать лагранжиан взаимодействия и правила интеграции Т-произведений. Если правила интеграции T-произведений уже фиксированы, то лагранжиан взаимодействия необходимо выбрать применительно к этим правилам.

Зависимость формы лагранжиана от некоторых дополнительных обстоятельств отнюдь не является специфической особенностью квайтовой теории поля. В классической физике, например, для фиксирования формы лагранжиана необходимо прежде выбрать независимые динамические переменные (ср. обычную трактовку скалярного поля (§3) и в формализме Кеммера (§ 4.4)).

Итак, необходимо сначала доопределить все спаривания, а также и их произведения, чтобы последние оказались интегрируемыми функциями. Тем самым T-произведения будут полностью заданными, и окажется возможным фиксировать лагранжиан.

Эти вопросы, связанные с задачей регуляризации S-матрицы, будут освещены подробно в следующей главе. Здесь же мы ограничимся доопределением спариваний функций поля. Условимся считать, что если при у спаривание совпадает с некоторой функцией Грина

то оно совпадает с этой функцией и в бесконечно малой окрестности точки х у. В частности, будем считать, что выражения (6) — (9) справедливы и в бесконечно малой окрестности точки . Другими словами, в рамках терминологии, введенной в § 15.3, мы определяем хронологические спаривания как вакуумные средние от виковых хронологических произведений

Рассмотрим также общий случай, когда поле описывается системой уравнений первого порядка. Как мы видели в § 15, функции поля удовлетворяют тогда перестановочным соотношениям

Поэтому, вычисляя обычное спаривание, получаем:

откуда стандартным путем находим для хронологического спаривания

что при совпадает с

Мы положим поэтому, что при любых x и y

В ряде случаев в лагранжиан взаимодействия могут входить производные функций поля. Целесообразно поэтому ввести здесь полное определение их спариваний. Замечая, что при

мы положим, по определению, что (11) справедливо при любых x и y.

Заметим, что формулы (10) и (11) определяют спаривания для викова T-произведения (ср. § 15.3). Соответствующие формулы для дайсонова варианта имеют вид

Отметим еще некоторые особенности хронологических спариваний н Т-произведений.

Как нетрудно убедиться, операторы свободных полей, входящие в нормальные произведения и обычные спаривания, остаются «свободными» в том смысле, что под действием дифференциальных операторов уравнений свободных полей указанные выражения обращаются в нуль. Так, для скалярного поля

Казалось бы, это свойство должно сохраняться и для хронологического спаривания, определенного в (4) через обычные спаривания, а, следовательно, и для T-произведения. Однако в действительности (из-за невыполнимости определения (4) в точке такое положение не имеет места. В самом деле, как было только что показано, хронологические спаривания выражаются через причинные функции Грина, удовлетворяющие неоднородным уравнениям полей. Так, для скалярного поля в соответствии с (5) имеем:

То же самое относится, следовательно, и к T-произведениям. В частности, для скалярного поля, с помощью (3), (12) и (14) находим:

Таким образом, операторы полей в представлении взаимодействия под знаком T-произведения следует рассматривать как не удовлетворяющие однородным уравнениям поля.