§ 48. Общий анализ групповых уравнений

48.1. Уравнения спинорной электродинамики.

Двухзарядный случай. Получим теперь функциональные уравнения для других квантовополевых моделей из § 47.2.

В спинорной электродинамике имеются три основные функции Грина:

поперечная часть фотонного пропагатора

    (35.7)

электронная функция Грина

и вершинная функция

Формула (1) получена из (35.21) переобозначением . В аргументы функций s, М и Г, следуя Логунову (1956), мы ввели величину которую можно трактовать как «продольную константу связи». В перенормированной теории возмущений (наряду с а) выступает как параметр разложения.

Мультипликативные преобразования Дайсона (47.11) теперь могут быть записаны для скалярных функций d, s, Г:

Благодаря калибровочной инвариантности продольная константа связи не преобразуется при (3), а вследствие тождества Уорда функции s и Г выпадают из инвариантного заряда

функциональное уравнение для которого

совпадает с (47.38). Уравнение для одноаргументных функций s и М имеют вид (47.39), например

Такой же вид имеет уравнение для «симметричной» вершины

Наконец, уравнение для Г будет

Константа связи а, входящая в эти уравнения, связана с наблюдаемой низкоэнергетической константой (постоянной тонкой структуры) посредством соотношения

где — фотонный пропагатор, нормированный на массовой поверхности реального фотона

В заключение выпишем без подробного вывода функциональные уравнения для двухзарядной модели мезон-нуклонного взаимодействия (36.44).

Вводя безразмерные функции безразмерных аргументов: мезонный и нуклонный пропагаторы

3-вершинную и 4-вершинную функции

(начиная с этого момента аргумент для экономии места опускаем), удовлетворяющие условиям нормировки

определим «симметричные» вертексы:

и введем инвариантные константы связи:

Функциональные уравнения для g и h имеют вид

Эта замкнутая пара уравнений образует первый класс. Ко второму классу относятся четыре уравнения для d, s и симметричных вертексов Г и :

Наконец, уравнениями третьего класса будут