6.4. Трансформационные свойства спинорного поля.

Обратимся к рассмотрению преобразований спинорных волновых функций при лоренцовых преобразованиях системы отсчета. Заметим при этом, что в отличие от ранее рассмотренных тензорных представлений, когда уравнения поля в силу ковариантности оператора Клейна — Гордона автоматически являлись ковариантными, условия ковариантности уравнений Дирака (20), (21) должны быть рассмотрены особо.

Как известно, уравнение называется ковариантным, если после преобразования, т. е. записанное в преобразованных координатах и функциях, оно имеет ту же форму, что и до преобразования.

При пространственно-временных трансляциях

оператор Дирака не меняется:

Поэтому в соответствии с замечанием, сделанным в § 1.4, следует положить

так как при этом в новых переменных уравнение имеет старую форму:

т. е. остается ковариантным.

При бесконечно малых вращениях

оператор Дирака уже не является ковариантным

ввиду чего закон преобразования спинорной волновой функции имеет более сложную матричную структуру (1.6):

Для установления связи матрицы преобразования с матрицами Дирака и параметрами преобразования будем исходить из условия ковариантности уравнения Дирака, полагая, что в преобразованных переменных оно имеет вид (23). Умножая (23) слева на мы получим исходное уравнение (20) в том случае, если выполняется соотношение

При этом члены первого порядка малости по со взаимно сокращаются и, пренебрегая членами второго порядка, мы получаем:

Представляя матрицу в виде

где коэффициенты разложения обладают свойством антисимметричности

находим, что ввиду (26) они подчиняются соотношениям

которые вместе с условиями антисимметричности дают:

Формулы (27), (28) дают в явном виде матрицу преобразования при бесконечно малых преобразованиях поворота. Оказывается, однако, что с помощью этих формул можно получить также явный вид матрицы и для конечных преобразований. Воспользуемся

для этого групповым свойством оператора , где угол поворота в одной из плоскостей . Из аддитивности поворотов следует, что

Полагая здесь после небольшой выкладки

получаем дифференциальное уравнение группы поворотов

Интегрируя это уравнение с учетом (28) и вытекающего из (27) начального условия находим:

Таким образом, оператор как бы производит поворот на «по ловинный» угол

Проведенный здесь расчет, которым мы получили формулу (29), является частным случаем известного в теории групп рассуждения, с помощью которого по операторам бесконечно малых преобразований непрерывной группы восстанавливается вся группа в целом.

Рассмотрим частные случаи формулы (29). Для пространствен ного поворота в плоскости

находим отсюда:

Для лоренцева поворота в плоскости

получаем соответственно

При преобразовании экспонент в (31) и (33) были использованы свойства матриц суммировать по .

Как можно было заметить из (26), выражение при бесконечно малом преобразовании (24) выражается через матрицы той же линейной формой, что и преобразованные координаты х — через Образуя выражения с помощью (31) и (33) и сравнивая с (30) и (32), находим, что то же самое имеет место и для конечных преобразований вращения.

Из формул пространственного вращения (31) непосредственно вытекает неоднозначность спинорных функций. Полагая находим, что полному пространственному обороту системы координат соответствует матрица преобразования т. е. при таком преобразовании функция поля меняет знак. Поскольку, однако, преобразование поворота на приводит систему координат в первоначальное положение, т. е. совпадает с тождественные преобразованием, то отсюда следует, что спинорные волновые функции всегда определены с точностью до знака.

Приведем еще вид матрицы для преобразовании отражения координатных осей. Замечая, что формулы преобразования при отражениях четного числа различных пространственных осей, сводящихся к поворотам, вытекают из (31), ограничимся преобразованием отражения всех трех пространственных осей (Р-преобразование):

В силу двузначности спинорного представления фазовый множитель подчиняется условию

Трансформационные свойства сопряженного сгшнора вытекают из его определения (22). Беря эрмитово сопряжение от (25) и умножая справа на получаем:

т. е. что сопряженный спинор преобразуется матрицей Нетрудно убедиться, далее, что для преобразований из полной группы Лоренца всегда выполняется соотношение

в силу которого закон трансформации сопряженного спинора для этой группы будет

Для доказательства (36) заметим, что его выполнение при преобразовании отражения пространственных осей (34) является очевидным,

а его справедливость при поворотах может быть установлена с помощью вытекающего из (2) и (14) соотношения

Ввиду того, что матрицы преобразований поворотов согласно (31) и (33) являются линейными функциями квадратичных комбинаций дираковских матриц, находим с помощью (38)

что, согласно вторым формулам (31) и (33), эквивалентно (36).

На основании изложенного можно сказать, что при произвольном однородном лоренцевом преобразовании системы координат

    (40)

спинорная волновая функция и сопряженная ей функция преобразуются с помощью взаимно обратных матричных операторов обладающих свойством

    (41)

Покажем теперь, что из совокупности законов преобразования (25), (37) и соотношения (41) вытекает, что квадратичные формы спиноров преобразуются по тензорным представлениям группы Лоренца.

Рассмотрим для этого квадратичную форму

где — некоторая, пока произвольная, матрица, составленная из произведений матриц у. При лоренцевом преобразовании (40) на основании (25) и (37) находим:

Обратимся к простейшим частным случаям:

а) , откуда ясно, что форма представляет собой скаляр;

б) ; с помощью (41) находим:

откуда следует, что четверка величин образует контравариантный 4-вектор.

Аналогичным образом можно показать, что величины

представляют собой компоненты антисимметричного контравариантного тензора второго ранга и т. д.

Особый интерес представляют случаи, когда в О входит множителем матрица . Дело в том, что, как нетрудно проверить, при собственных преобразованиях Лоренца коммутирует с А:

а при несобственных — антикоммутирует:

Поэтому форма в первом случае ведет себя как скаляр, а во втором — меняет знак. Ясно, что она представляет собой псевдоскаляр. Подобным образом четыре величины

при поворотах преобразуются как компоненты 4-вектора, а при отражениях дополнительно меняют знак. Они образуют псевдовектор.

Аналогичными рассуждениями может быть без труда установлена тензорная природа и более сложных форм типа (42). Мы, однако, на этом закончим рассмотрение свойств матриц у и законов преобразования спинорных функций, так как приведенный материал окажется вполне достаточным для дальнейшего изложения.