12.2. Индефинитная метрика.

Чтобы ликвидировать указанную трудность, мы воспользуемся формальным приемом (Блейлер (1950), Гупта (1950)), основанным, в сущности, на том обстоятельстве, что соответствующие нулевой компоненте потенциала «временные фотоны» в действительности не существуют, а их возникновение в промежуточных рассуждениях связано с переходом от наблюдаемых величин (векторов Е и Н) к ненаблюдаемому 4-потенциалу А, произведенным для придания теории релятивистской симметрии и ковариантности.

Мы будем теперь считать, что компонента в отличие от остальных компонент антиэрмитова, т. е.

это предположение эквивалентно переходу к эрмитовой :

Тогда получаем нормальные перестановочные соотношения

Чтобы сохранить самосопряженность оператора нам придется ввести индефинитную метрику в пространстве амплитуд состояния. Для этого введем эрмитов оператор , наделенный свойствами

т. е. перестановочный с и антиперестановочный с . Заново определяя сопряженную амплитуду состояния

т. е. определяя среднее значение как

получаем свойство самосопряженности оператора

Рассмотрим вопрос о дополнительном условии. При квантовании мы считали, что независимы, следовательно, накладывать условие Лоренца на операторы мы не можем. Легко видеть, что

наложить условие Лоренца на допустимые амплитуды состояний, т. е. потребовать, чтобы

также невозможно, ибо такое условие противоречит, например, определению вакуума. В самом деле, полагая имеем:

Умножая слева на , получаем:

т. e. противоречие.

Поэтому условие Лоренца мы сформулируем как условие для допустимых состояний, но в ослабленной форме:

а ему сопряженное —

Эти условия обеспечивают выполнение условия Лоренца в среднем,

чего вполне достаточно для соответствия с классическим полем.

Перейдем к вопросу о положительности наблюдаемого значения плотности энергии. Для этого запишем дополнительные условия в импульсном представлении. Имеем, очевидно,

или с учетом того, что

Отсюда следует, что в допустимых состояниях полная энергия и импульс продольных и временных псевдофотонов равны нулю, так как

Для вектора энергии-импульса получаем поэтому

Положительность среднего значения энергии обеспечена. Покажем теперь, что вновь определенная норма (7) дает те же результаты для средних наблюдаемых величин, что и старая норма.

Для этого представим разложение по локальному реперу (5.16) в виде

причем член имеет структуру 4-градиента и может быть исключен градиентным преобразованием, а является поперечной составляющей А. Поэтому можно считать, что

и следовательно,

Нетрудно убедиться, что справедливо и более общее утверждение

где К — оператор вида

Z — полиномиальная функция, а

В самом деле, представляя в виде (13) и отбрасывая градиентные члены, видим, что необходимо выполнить коммутации членов вида . Однако между собой коммутируют, а . Остаются, следовательно, только коммутаторы от . Итак, (14) доказано. Покажем теперь, что

где — амплитуда чисто фотонного состояния, т. е. состояния, не содержащего продольных и временных псевдофотонов. Действительно,

амплитуда произвольного состояния может быть представлена в виде линейной комбинации чисто фотонного состояния и членов, содержащих различные числа псевдофотоиов. В силу дополнительных условий последние члены могут содержать операторы только в комбинации

Поясним это на простом примере, легко поддающемся обобщению. Пусть амплитуда состояния, которое кроме поперечных содержит один временной и один продольный фотон, имеет вид

Действуя на нее оператором после несложных коммутаций с помощью (2) получаем

На основе (10) получаем отсюда . Таким образом,

Но так как комбинации

коммутируют с и друг с другом, то

поскольку

и

Итак, установлено, что среднее по индефинитной метрике от К равно обычно среднему от

Заключаем, что пользование индефинитной метрикой при вычислении реальных наблюдаемых величин не может привести к каким-либо парадоксальным результатам вроде «отрицательных вероятностей»,

В дальнейшем для удобства мы будем всегда применять вместо Ф обычное обозначение Ф,