51.2 Двухпетлевое приближение.

Для определения следующих вкладов в бета-функцию, пропорциональных нужно вычислить ультрафиолетовые логарифмические вклады в g порядка (т. е. члены в . Для скалярного пропагатора получаем из (5)

а для определения соответствующих вкладов в симметричную 4-вершину следует вычислить вклады диаграмм порядка, изображенных на рис. 64.

Рис. 64. Вклады порядка в вершинную функцию

Диаграммы рис. 64, а, представляющие итерации однопетлевой диаграммы «рыба», дают вклад, пропорциональный квадрату логарифма а двухпетлевые диаграммы рис. 64, б — вклад содержащие младший логарифм. Имеем

С учетом (9) получаем

Таким образом бета-функция -петлевого приближения оказывается равной

Это выражение является весьма примечательным. Оно линейно обращается в нуль в точке

вследствии чего интеграл в левой части квадратуры

неограннченно растет при стремлении g к g. Величина g является ультрафиолетовым пределом инвариантного заряда:

Мы получили случай а) по классификации § 49.2. Уравнение Ли может быть проинтегрировано в квадратурах, что дает

— трансцендентное уравнение для g. Его можно переписать в форме

удобной для решения методом итераций при малом g. Первая итерация дает формулу вида (50.14), разлагая которую в свою очередь по g можно получить выражение, полностью соответствующее исходному -петлевому приближению для

Однако для анализа- поведения g при удобнее исходить непосредственно из квадратуры (12), в которой следует сделать приближение

Получаем этим путем

Таким образом g стремится к своему предельному значению степенным образом, причем показатель степени не сильно отличается от единицы. Выход в окрестность происходит быстро.

Обратимся к асимптотике пропагатора. Подставляя (6) и (10) в формулу (49.31), находим после небольших вычислений

    (16)

Таким образом в соответствии с (49.33) пропагатор имеет степенную асимптотику. Показатель аномальной размерности мал по сравнению с единицей.