35.4. Схема вычисления поправок к формуле Клейна—Нишины.

Формулы (5), (6), (21) и (27) для D, G и Г, содержащие поправки порядка к основным выражениям, позволяют непосредственно вычислять радиационные поправки порядка к эффектам спинорной электродинамики.

Рис. 46. Диаграммы, дающие вклад в радиационную поправку к комптон-эффекту.

В качестве иллюстрации рассмотрим схематически процедуру вычисления радиационных поправок к формуле Клейна—Нишины, полученной нами в § 26. Для этого, очевидно, следует учесть диаграммы четвертого порядка, обладающие двумя внешними фотонными и двумя внешними электронными линиями. Таких диаграмм имеется восемь. Четыре из них отличаются от основной диаграммы комптон-эффекта собственно-энергетическими вставками во внешние линии и в соответствии с условиями (34.47) и (34.52) не дают вкладов в матричные элементы. Еще две диаграммы содержат вершинные части второго порядка (рис. 46, а, б), одна диаграмма содержит собственно-энергетическую вставку во внутреннюю фермионную линию (рис. 46, в), и, наконец, последняя диаграмма соответствует испусканию дополнительного виртуального фотона (рис. 46, г).

Структура матричных элементов, соответствующих диаграммам рис. 46, а, б, аналогична структуре основных матричных элементов второго порядка (26.2), за исключением того, что вершинным частям, содержащимся в этих диаграммах, соответствует не матрица а выражение , определяемое формулой (27).

Заметим в этой связи, что входящие в указанные матричные элементы вершинные факторы соответствуют одной из двух групп условий:

В этих двух случаях интеграции, содержащиеся в (27), могут быть выполнены почти полностью и вершинный фактор выражен через алгебраические комбинации матриц Дирака и импульсов, логарифмы и функцию Спенса (дилогарифм)

Матричные элементы, соответствующие диаграмме рис. 46, в, составляются путем использования в качестве функции распространения фермиона в промежуточном состоянии выражения (21) (включающего радиационную поправку, которая обязана своим появлением присутствующей на этой диаграмме собственно-энергетической петле).

Таким образом, вычисление матричных элементов, соответствующих всем диаграммам комптоновского рассеяния четвертого порядка, за исключением диаграммы рис. 46, г, весьма просто выполняется с помощью полученных выше явных конечных выражений для G и Г. Это вычисление уже не содержит интегрирования по 4-импульсам и фактически сводится к взятию шпура от квадрата суммы матричных элементов (см. (26.3), (26.4)).

Наконец, определение матричных элементов, соответствующих последней диаграмме (рис. 46, г), требует вычисления интегралов вида

где

Интегралы (30) очевидным образом не содержат ультрафиолетовых расходимостей. Однако они логарифмически расходятся в области малых q при Действительно, в этом случае имеет место особенность вида

которая, как обычно, может быть устранена введением фотонной массы Фактическое вычисление интегралов (30) может быть без труда проведено с помощью перехода к a-представлению причинных функций (типа (27.6)). Из-за громоздкости соответствующих выкладок мы не будем вычислять интегралы типа (30) и шпуры, отослав читателя, интересующегося конечным выражением для

формулы Клейна — Нишины с учетом радиационных поправок порядка к статье Броуна и Фейнмана (1952).

Скажем еще лишь несколько слов по поводу компенсации инфракрасных расходимостей в окончательных выражениях. Как мы уже видели, члены пропорциональные содержатся в целом ряде матричных элементов комптоновского рассеяния четвертого порядка. Подобные члены будут присутствовать и в выражениях для вероятности перехода. Таким образом, выражение для вероятности комптоновского рассеяния, соответствующее приведенным выше восьми диаграммам четвертого порядка, оказывается бессмысленным.

Причина этого заключается в физически неправильной постановке вопроса. Как уже упоминалось, инфракрасная катастрофа является следствием неприменимости разложения по числу испущенных фотонов в области малых энергий последних. С точки зрения эксперимента указанное положение соответствует физической неразличимости процессов, отличающихся между собой некоторым числом испущенных фотонов малой энергии. В самом деле, факт излучения фотона весьма малой энергии может быть установлен лишь косвенным путем, на основе измерения энергий остальных частиц, участвующих в процессе, что можно провести лишь с некоторой конечной точностью. Поэтому всегда остается возможность испускания фотонов с суммарной энергией, меньшей некоторой величины Ящах, определяемой возможной ошибкой измерения.

В рассматриваемом случае первые радиационные поправки к формуле Клейна—Нишины порядка ей, обязанные интерференции членов второго и четвертого порядка, оказываются физически неотличимыми от случая так называемого двойного комптоновского рассеяния, при котором, кроме обычного наблюдаемого комптоновского фотона, испускается также второй фотон с очень малой энергией и вероятность которого также имеет порядок Учет вероятности двойного комптон-эффекта, проинтегрированной по энергиям второго фотона от нуля до Етлх, приводит к выражению, свободному от инфракрасной катастрофы, но включающему в себя явным образом величину