34.2. Неоднозначность процесса устранения бесконечностей.

В § 33 было показано, что в процедуре получения не содержащей бесконечностей градиентно-инвариантной матрицы S (1) имеется произвол, связанный с тремя конечными постоянными, которые могут быть представлены в виде коэффициентов при операторных выражениях того же типа, что и контрчлены лагранжиана 33.38).

Таким образом, после устранения бесконечностей, которое может быть осуществлено либо введением расходящихся коитрчленов (33.38), либо соответствующим переопределением хронологических произведений, выражение для -матрицы содержит определенный произвол, который удобнее всего записать в виде конечных добавок к исходному лагранжиану взаимодействия:

Здесь — конечные постоянные, причем в силу тождества Уорда (33.40)

Мы рассмотрим сейчас влияние на матрицу рассеяния конечных контрчленов (8) и покажем, что оно сводится к некоторой конечной перенормировке массы и заряда е. С этой целью, во-первых, запишем (8) в импульсном представлении

(в этой записи использованы некоторые очевидные сокращения).

Лагранжиану в отличие от обычного «затравочного» лагранжиана взаимодействия на диаграммах Фейнмана будут соответствовать вершины четырех типов. Помимо обычных вершин с измененной константой связи появятся вершины с двумя фермионными линиями, соответствующие слагаемым в (10), содержащим , а также вершины с двумя фотонными линиями, соответствующие последнему слагаемому в (10).

Рассмотрим структуру факторов распространения, соответствующих внутренним линиям новых, усложненных диаграмм. Начнем с фермионных линий. Для удобства несколько перегруппируем члены из (10), билинейные по операторам поля Дирака

В модифицированных правилах Фейнмана первому слагаемому будет соответствовать «двухфзрмионная» вершина с матричным фактором, равным . Эту вершину назовем -вершиной. Второму слагаемому соответствует -вершина с числовым фактором

Подсчитаем теперь «полный фактор распространения» фермиона между двумя модифицированными вершинами обычного типа (-шинами), учитывающий поправки -вершин. Он будет представляться суммой слагаемых, соответствующих фермионным циклам, имеющим начало и конец в -вершинах и содержащим произвольное число вершин типа . Рассмотрим сначала циклы,

содержащие только -вершины. Вычисляя последовательно соответствующие вклады с учетом наличия множителя в порядке -матрицы и компенсации факториала в знаменателе при переходе к импульсному представлению, находим

Таким образом, введению каждой новой -вершины соответствует появление множителя . Поэтому, суммируя вклады с различным числом -вершин от нуля до бесконечности

убеждаемся, что введение в лагранжиан взаимодействия члена с точки зрения внутренних фермионных линий эквивалентно простой перенормировке причинной функции фермиона

что представляется вполне естественным. В то же время аналогичный учет члена во внешних фермионных линиях ведет к появлению фактора при операторах и соответствующих свободным фермионным (внешним) линиям диаграмм.

Повторяя проведенное рассуждение для конечного контрчлена убеждаемся, что его учет во внутренних фермионных линиях приводит к перенормировке массы фермиона

Таким образом, суммарный эффект билинейных спинорных контрчленов сводится к преобразованию

Следует оговориться, что при проведении соответствующих рассуждений для внешних фермионных линий приходится иметь дело с выражениями вида

содержащими очевидную неопределенность при переходе на массовую поверхность, когда .

Как было установлено Медведевым и Поливановым (1967), более строгий анализ показывает, что «множители» перенормировок типа для внешних линий вне массовой поверхности представляют собой, вообще говоря, интегро-дифференциальные операторы. Они становятся числами лишь при переходе к массовой поверхности. В этом случае получаем

Обратимся к внутренним фотонным линиям. Сопоставим внутренним фотонным линиям пропагатор вида (5) в произвольной калибровке

где выражения

являются проекционными операторами и удовлетворяют свойствам

Вершине сопоставим фактор

Исследуем структуру выражений, соответствующих включению -вершин во внутренние фотонные линии. Получаем последовательно:

Множитель 2 в -вершине обязан своим появлением двум возможным порядкам спаривания операторов А, входящих в член в (10). Выполняя суммирование по всем возможным числам -вершин

приходим к выражению:

Таким образом, член с приводит к перенормировке лишь поперечной части фотонной функции Грина, а продольный член не испытывает никаких изменений. При обычном рассмотрении матрицы рассеяния этим членом пренебрегают, используя отмеченный выше факт градиентной инвариантности матрицы рассеяния. Поэтому в теории S-матрицы факт «неполной ренормировки» фотонной функции оказывается несущественным.

Положение меняется при переходе к общей теории функций Грина взаимодействующих полей, которым соответствуют суммы диаграмм, составленных лишь из внутренних линий. В этом случае

основной аппарат формулируется без какого бы то ни было обращения к матричным элементам и условию Лоренца. Здесь уже продольным членом пренебрегать нельзя. Однако возникающее затруднение можно обойти, если в качестве нулевого приближения для функции Грина выбрать чисто поперечное выражение

В этом случае учет члена приводит к чисто мультипликативной перенормировке:

Рассматривая далее процесс вставки -вершин во внешние фотонные линии диаграмм, убеждаемся, что с учетом ослабленного условия Лоренца, наложенного на допустимые состояния, квадратичные по А члены ведут к преобразованию

При этом, строго говоря, мы получаем выражение вида

содержащее неопределенности типа Однако, если учесть, что поле А является поперечным и вне массовой поверхности (при ), то, выбирая надлежащий порядок предельных переходов и учитывая замечание, сделанное перед (12), мы получим (16). Ясно также, что влияние члена сводится к изменению величины заряда

Подытоживая результаты рассуждения, на основании (11), (12), приходим к выводу, что введение в лагранжиан взаимодействия конечных членов эквивалентно с точки зрения структуры S-матрицы следующему преобразованию Дайсона (1949 б) факторов распространения, операторов полей и заряда электрона:

Формулы (18) без труда обобщаются на случай Заметим для этого, что преобразование

может быть записано в виде

так что вместо (18) получаем:

    (20)

Отметим здесь, что в противоположность всем остальным квадратичным членам действие выражения не может быть сведено к какой-либо перенормировке или к замене причинных функций и потенциалов и потому обязательно должно быть оставлено в лагранжиане взаимодействия. В самом деле, нетрудно убедиться, что включение вершин типа во внутренние фермионные линии приводит к новой массе фермиона:

Включение же -вершин во внешние фермионные линии приводит к выражению

которое при вычислении матричного элемента дает нуль. Таким образом, с точки зрения S-матрицы, введение члена не может быть последовательно описано изменением массы фермиона.

Рис. 39.