16.3. Регуляризация Паули — Вилларса.

Как будет установлено позже (глава IV), в теории взаимодействующих полей нам придется иметь дело с выражениями, содержащими произведения различного числа рассматриваемых сингулярных функций. В отдельных случаях (см. также § 18) особенности различных функций, входящих в такие произведения, будут накладываться друг на друга, приводя при этом к бессмысленным неинтегрируемым выражениям. Ниже (главы V и VI) будет указана методика выделения отдельных сингулярностей из таких выражений. При этом, чтобы в промежуточных рассуждениях не иметь дела с актуальными бесконечностями, окажется удобным использовать в них вместо самих сингулярных функций некоторые регулярные приближения к ним, а предельный переход, снимающий регулярность, осуществлять лишь в окончательных выражениях.

Основываясь на проведенном анализе особенностей перестановочных функций и функций Грина, мы сформулируем сейчас способ построения таких приближений к этим функциям, что вместе со своими производными до любого заданного порядка включительно они не будут иметь особенностей на световом конусе. В качестве примера подобной процедуры может быть указана так называемая регуляризация Фейнмана (1948 б) причинной функции Грина фотона, которая состоит в замене

на

где — квадрат некоторой «вспомогательной массы», что, как видно, эквивалентно введению множителя

С помощью (18) нетрудно убедиться, что функция в отличие от не содержит на световом конусе самых сильных особенностей . С другой стороны,

Заметим теперь, что согласно формулам (3) и (7) рассматриваемые сингулярные функции могут быть представлены в виде

Последнее утверждение справедливо с точностью до множителей содержащихся в отдельных членах указанных функций. Подчеркнем, однако, что нашей целью является построение таких комбинаций перестановочных функций и функций Грина, которые на световом конусе имели бы достаточное количество регулярных производных по X (или, что эквивалентно, по компонентам ). Особенности, соответствующие как было отмечено, благодаря множителям проявляются лишь на световом конусе и потому будут погашаться нулем по X достаточно высокой степени одновременно с особенностями по переменной X. Поэтому при анализе особенностей рассматриваемых сингулярных функций мы вправе исходить из формулы (20).

Из этой формулы непосредственно вытекает, что особенности всегда входят с коэффициентами, не зависящими от массы, а особенности — с коэффициентами, пропорциональными Следовательно, взяв линейную комбинацию нескольких функций А (символом А обозначим здесь любую из рассматриваемых функций ), соответствующих полям с различными массами

коэффициенты которой удовлетворяют условиям

мы получим выражение, не содержащее особенностей на световом конусе.

Для того чтобы прийти к выражению, непрерывному вместе со всеми своими производными до порядка включительно, подчиним коэффициенты условию:

Очевидно, минимальное необходимое число масс при этом не превышает

В результате мы получим выражение, которое в окрестности точки имеет вид полинома по X с коэффициентами, содержащими и является непрерывным вместе со своими производными.

Заметим еще, что в практических вычислениях (см. главу V) вместо полного устранения особенностей сингулярных функций оказывается достаточным сводить эти особенности к интегрируемому типу, что приводит к уменьшению количества необходимых вспомогательных масс.

В описываемом приеме одну из вспомогательных масс М выбирают равной основной массе поля , а соответствующий коэффициент с полагают равным единице. Таким путем данной сингулярной функции поля с массой сопоставляется функция, непрерывная

вместе со всеми своими производными до порядка включительно:

Эта функция содержит вспомогательных масс и ее коэффициентов подчинены условиям

Как будет показано в § 18, «компенсирующие» массы могут быть выбраны таким образом, что при некотором определенном способе одновременного стремления их величин к бесконечности коэффициенты с - останутся конечными. Тогда при больших, но конечных массах мы приходим к положению, при котором в силу упоминавшихся асимптотических свойств (9) цилиндрических функций значения вспомогательных функций А. окажутся исчезающе малыми всюду, кроме малой окрестности световых конусов.

При этом в силу конечности коэффициентов - регуляризованная функция будет практически отличаться от функции А лишь в малой окрестности световых конусов, где в отличие от будет непрерывной вместе с некоторым числом своих производных. При увеличении значений вспомогательных масс окрестность световых конусов, в которых разность отлична от нуля, уменьшается, а конечные значения и ее производных увеличиваются. В пределе функция перестает отличаться от А.

Изложенный формальный прием устранения особенностей из сингулярных функций поля с помощью введения вспомогательных масс является одним из вариантов метода, известного под названием регуляризации Паули — Вилларса (1949). Этот прием эквивалентен введению дополнительных полей с массами, компенсирующих сингулярности в функциях основного поля.

Отметим еще, что регуляризация сингулярных перестановочных и причинных функций

не является самоцелью. Она представляет лишь этап на пути к получению регуляризованных произведений

Поэтому возможны регуляризации, при которых модификации подвергается непосредственно произведение (24), а этап (23) вообще отсутствует. К таким регуляризациям относится регуляризация

обрезанием в импульсном пространстве (см. напр. Ахиезер, Берестецкий (1981) - § 3.7 и Приложение, а также Боголюбов и Ширков (1980) — § 23 и Дополнение VI) и так наз. размерная регуляризация, предложенная т’Хоофтом и Вельтманом (1972). В отличие от регуляризации обрезанием и простого варианта регуляризации Паули—Вилларса регуляризация т’Хоофта-Вельтмана сохраняет трансформационные свойства произведений (24) по отношению к широкому классу преобразований, включая неабелевы калибровочные преобразования.