§ 55. Представление Йоста — Лемана — Дайсона

55.1. Постановка задачи.

При рассмотрении ряда важных задач квантовой теории поля (как, например, при изучении аналитических свойств амплитуд упругого рассеяния, некоторых особых свойств амплитуд так называемых глубоко неупругих процессов и т. д.) чрезвычайно полезным оказывается особое интегральное представление фурье-образа матричного элемента коммутатора токов

между произвольными состояниями с заданными значениями 4-век-торов энергии импульса и остальными квантовыми числами . Токи которые могут относиться к различным полям, представляют собой операторные выражения вида (53.10) и удовлетворяют условию «слабой» локальной коммутативности вида :

Интегральное представление для фурье-образа от (1)

обладает рядом простых свойств в силу условия спектральности. Для детализации этих свойств подставим (1) в (2), используем общее свойство трансляционной инвариантности 52.2 в в форме (52.19) и выполним интегрирование по конфигурационному 4-пространству. Получим

Переходя для простоты в систему отсчета

и обозначая

заключаем, что

причем область R 4-пространства q определяется условиями:

где — минимальные массы промежуточных состояний в правых частях (3) и (4). В случае, когда область R оказывается симметричной по :

Такой случай будем называть симметричным.

Интегральное представление для было получено Йостом и Леманом (1957) для симметричного случая. Оно имеет вид 4-кратного

интеграла

Для более общего несимметричного случая соответствующее обобщение (9) было установлено Дайсоном (1958) в виде -кратного интеграла

Ценность представлений (9) и (10) в физически важных случаях связана с тем обстоятельством, что область интегрирования по и оказывается конечной, а интегрирование по распространяется лишь на часть действительной положительной полуоси (см. ниже в § 55.4).

Общая форма представлений (9), (10), как будет показано ниже, основана на том существенном факте, что согласно (2) и является фурье-образом функции, удовлетворяющей условию исчезновения вне светового конуса в конфигурационном пространстве:

Такие функции ниже будем называть «причинными».

В то же время ограничения на область интегрирования в (9), (10) являются отражением спектральных свойств (6) функции в импульсном -пространстве.

Займемся сперва построением общего вида спектрального представления.