27.2. Выделение из расходящейся части.
Подставляя полученное значение 
в (12), получаем
второй член 
при 
сходится к определенному пределу, равному
Разбиение (14) сделано так, что
Первый член в (14) при 
очевидно, расходится логарифмически.
Переходя к конфигурационному представлению, получаем при достаточно больших М
где
а фурье-образ функции 
представляется вторым членом выражения (14). Повторяя рассуждение § 18, убеждаемся, что при 
) сходится в несобственном смысле к интегрируемой функции
фурье-образ которой представляется выражением (15). В целом же функция 
из-за фактора 
не будет сходиться при 
даже в несобственном смысле. Поскольку, кроме того,
первый член (17) исчезает при 
, можно написать:
Мы произвели здесь выделение расходящейся части из сингулярной функции 
Подчеркнем, однако, что операция выделения сингулярности является неоднозначной. В самом деле, представляя 
например, в виде
где
а 
— произвольная конечная масса, мы получили бы для регулярной части 
выражение, отличающееся от 
членами, пропорциональными 
и ее первым производным.
Изменение подобного характера в конечной части 
можно получить при переходе к какому-либо другому способу регуляризации. Например, если регуляризовать 
введением в интеграл (4) обрезающего множителя Фейнмана (19486, 19496)
что в нашей записи эквивалентно регуляризации лишь фотонной 
-функции, то результат может быть представлен в виде
где регулярная функция 
в импульсном представлении отличается от 2 на величину
Таким образом, видно, что при снятии регуляризации к определенному пределу сходится не 
, а, например, выражение, получающееся путем вычитания из него двух первых членов ряда Маклорена:
Последнее выражение сходится к пределу, не зависящему от способа регуляризации, так как добавление к 
любого полинома первой степени по 
не меняет написанного «остаточного» члена (19).
Общее выражение для 
получим, прибавляя к (19) произвольный полином первой степени по 
. Из соображений релятивистской
ковариантности этот полином должен иметь вид
и, следовательно, общее выражение для 
получим в виде
Соответственно в х-представлении выражение для 2 определено с точностью до члена
исчезающего при 
т. е., как и следовало ожидать из общих соображений, произвол в этом члене T-произведения имеет место лишь в бесконечно малой окрестности точки х = 0.
